implisitt def. funksjon, partiellderivert uttrykk - hjelp

[EmmaHenri]

Heihei Får ikke til følgende oppgave, og lurer på om noen kan hjelpe

La z(x,y) være funksjonen som er implisitt definert ved ligningen:
2x + 5y + 4z + 2cos(4z) + 5 = 0
i en omegn om punktet p = (-Pi/2, -3/5, Pi/4)
Beregn (∂^(2)z) / (∂x∂y) i p.

[DennisChristensen]

Heihei Får ikke til følgende oppgave, og lurer på om noen kan hjelpe

La z(x,y) være funksjonen som er implisitt definert ved ligningen:
2x + 5y + 4z + 2cos(4z) + 5 = 0
i en omegn om punktet p = (-Pi/2, -3/5, Pi/4)
Beregn (∂^(2)z) / (∂x∂y) i p.

En god strategi er å derivere begge sider med hensyn på $y$, og deretter med hensyn på $x$ (eller omvendt): Tar vi $\frac{\partial}{\partial y}$ får vi $$5 + 4\frac{\partial z}{\partial y} - 8\sin\left(4z\right)\frac{\partial z}{\partial y} = 0.$$ Deretter tar vi $\frac{\partial}{\partial x}$ og får: $$4\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} - 32\cos\left(4z\right)\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} - 8\sin\left(4z\right)\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0.\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ (1)}$$ For å komme videre er vi nødt til å finne $\frac{\partial z}{\partial x}\upharpoonright_p$ og $\frac{\partial z}{\partial y}\upharpoonright_p$. Nå, ovenfor så vi at dersom vi tok $\frac{\partial}{\partial y}$ av vår originale likning fikk vi $$5 + 4\frac{\partial z}{\partial y} - 8\sin\left(4z\right)\frac{\partial z}{\partial y} = 0.$$ Dersom vi evaluerer begge sider av likningen i punktet $p = (-\frac{\pi}{2}, -\frac{3}{5}, \frac{\pi}{4})$ får vi at $$ 5 + 4\frac{\partial z}{\partial y}\upharpoonright_p - 8\cdot 0\cdot \frac{\partial z}{\partial y}\upharpoonright_p = 0,$$ så $\frac{\partial z}{\partial y}\upharpoonright_p = -\frac54.$ På samme måte ser vi at $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac24 = -\frac12.$ Substituerer vi dette inn i likning $(1)$ når vi evaluerer begge sider i $p$ får vi: $$4\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\upharpoonright_p-32(-1)(-\frac54)(-\frac12)-8\cdot 0 = 0,$$ så $$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\upharpoonright_p = -\frac{32\cdot 5}{4\cdot 4\cdot 2} = -5.$$

[EmmaHenri]

Tusen takk! Setter veldig stor pris på at du gjennomgår hele utregningen slik at jeg faktisk forstår hvorfor du gjør det du gjør

[matte2]

Hei. Holder på med en lignende oppgave, men ser ikke helt hvilken ligning du tar utgangspunkt i for å regne ut d/dx?