initialverdiproblem

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Siri96

Heihei :D Kunne trengt litt hjelp med en oppgave om noen har tid :)

Posisjonen til en ladet partikkel i et konstant magnetfelt blir beskrevet ved hjelp av

r(t) = (x(t), y(t), z(t)), der t er tiden.
På grunn av magnetfeltet tilfredstiller partikkelens posisjon initialverdiproblemet:
r (prikkderivert) = (2/Pi)i + 8i X r, t > 0 (x er lik kryssprodukt)
r(0) = (3,5,0)
i = (1,0,0)

Hvor er partikkelen etter Pi tidsenheter?
Siri96

Ingen som har noen forslag? :cry:
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Siri96 skrev:Heihei :D Kunne trengt litt hjelp med en oppgave om noen har tid :)

Posisjonen til en ladet partikkel i et konstant magnetfelt blir beskrevet ved hjelp av

r(t) = (x(t), y(t), z(t)), der t er tiden.
På grunn av magnetfeltet tilfredstiller partikkelens posisjon initialverdiproblemet:
r (prikkderivert) = (2/Pi)i + 8i X r, t > 0 (x er lik kryssprodukt)
r(0) = (3,5,0)
i = (1,0,0)

Hvor er partikkelen etter Pi tidsenheter?
Vi har $$\dot{\mathbf{r}}(t) = \frac{2}{\pi}\mathbf{i} + 8\mathbf{i}\wedge\mathbf{r} = \frac{2}{\pi}\mathbf{i} +8\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ x(t) & y(t) & z(t) \end{vmatrix} = \frac{2}{\pi}\mathbf{i} - 8z(t)\mathbf{j} + 8y(t)\mathbf{k}.$$

Ser vi på koordinatene hver for seg, får vi altså et system med differensiallikninger: $$\begin{cases} \dot{x}(t) & = \frac{2}{\pi} \\ \dot{y}(t) & = -8z(t) \\ \dot{z}(t) & = 8y(t),\end{cases}$$ med initialbetingelsen $\mathbf{r}(0) = \left(x(0),y(0),z(0)\right) = (3,5,0).$ Klarer du resten selv nå?
Siri96

Nei :cry: Har prøvd masse rart, men tror nok det er på tide at jeg innrømmer for meg selv at jeg er screwed når det gjelder matte eksamen :| Men tusen takk :)
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Fra $\dot{x}(t) = \frac{2}{\pi}$ integrerer vi og ser at $x(t) = \frac{2}{\pi}t + a,$ der $a\in\mathbb{R}$ er en konstant. Dersom vi deriverer likning nummer 2 og bruker likning 3 i systemet vårt får vi at $$\ddot{y}(t) = -8\dot{z}(t) = -8^2y(t).$$ Denne differensiallikningen har $r^2 + 8^2 = (r+8i)(r-8i)$ som sitt karakteristiske polynom, så vi får at $$y(t) = b\cos(8t) + c\sin(8t),$$ der $b,c\in\mathbb{R}$ er konstanter. Til slutt har vi at $$z(t) = -\frac18\dot{y}(t) = -\frac18\left(-8b\sin(8t) + 8c\cos(8t)\right) = b\sin(8t) - c\cos(8t).$$ Vi har initialbetingelsen $\mathbf{r}(0) = (3,5,0)$, som gir $a=3, b=5$ og $c=0$. Dermed er partikkelens posisjonsvektor etter $\pi$ tidsenheter gitt ved $$\mathbf{r}(\pi) = \left(\frac{2}{\pi}\cdot\pi + 3, 5\cos(8\pi),5\sin(8\pi)\right) = \left(5,5,0\right).$$
Svar