Polycyclic groups

[DennisChristensen]

Jeg sliter med følgende oppgave:

«Prove that every infinite polycyclic group contains an infinite free abelian normal subgroup»

Jeg antar at man skal bevise dette ved induksjon på gruppens lengde, eller ved å anvende «Noetherian Induction», men jeg kommer ikke i mål. Prøver meg på induksjon på lengden (skriver på engelsk ettersom jeg ikke kjenner noe særlig av terminologien på norsk):

Let $G$ be infinite polycyclic. If $\text{len}(G) = 1$ then $G\cong\mathbb{Z}$, and we are done.

Suppose the statement holds for all infinite polycyclic groups of length $k-1$. Let $G$ be polycyclic of length $k$, so we have, say, $$G= N_0 \trianglerighteq N_1 \trianglerighteq \dots \trianglerighteq N_k \trianglerighteq N_{k+1} = 1,$$ with each $N_i/N_{i+1}$ cyclic.

If $N_1$ is finite then necessarily $N_0/N_1\cong\mathbb{Z}$, say $N_0/N_1\cong\{t^nN_1 : n\in\mathbb{Z}\}$, and can show $\mathbb{Z} \cong \langle t^2 \rangle \trianglelefteq N_0 =G$ $\checkmark$

Så kommer spørsmålet: Dersom $N_0/N_1 \cong \mathbb{Z}_m$ er nødvendigvis $|N_1| = \infty$, så fra induksjonshypotesen vet vi at det finnes $H\trianglelefteq N_1$ som er infinite free abelian. Jeg antar at jeg skal bruke denne $H$ til å få en korresponderende normal $\hat{H} \trianglelefteq N_0 = G$ som også er infinite free abelian, men jeg ser ikke helt hvordan. Noen som har noen tips?

[Janhaa]

Hvilket kurs er dette,
ala abstract algebra 2/advanced a. a.

bare litt nysgjerrig!