Opphøyd determinant, hvordan regner man ut det?

[230ujsdfojfoisdjofjo]

Hei matematikk.net,

jeg har prøvd å søke litt rundt på nett når det gjelder å få regnet ut en opphøyd determinant, men jeg finner ingen svar. Dermed tenkte jeg at det kanskje ville vært gunstig å høre med dere om hvordan man regner ut en opphøyd determinant.

Som et eksempel,

[tex]Det(A)=\begin{bmatrix} 3 & 5\\ 5 & 9\end{bmatrix}[/tex]

Selve determinanten til denne er ikke vanskelig å regne ut, for det er jo bare [tex]3\cdot9-5\cdot5=2[/tex].
Men hva om man blir spurt om å regne ut, [tex]det(A^{^{9}})[/tex]? Hvordan gjør man dette?

Tusen takk for svar på forhånd!

[DennisChristensen]

Hei matematikk.net,

jeg har prøvd å søke litt rundt på nett når det gjelder å få regnet ut en opphøyd determinant, men jeg finner ingen svar. Dermed tenkte jeg at det kanskje ville vært gunstig å høre med dere om hvordan man regner ut en opphøyd determinant.

Som et eksempel,

[tex]Det(A)=\begin{bmatrix} 3 & 5\\ 5 & 9\end{bmatrix}[/tex]

Selve determinanten til denne er ikke vanskelig å regne ut, for det er jo bare [tex]3\cdot9-5\cdot5=2[/tex].
Men hva om man blir spurt om å regne ut, [tex]det(A^{^{9}})[/tex]? Hvordan gjør man dette?

Tusen takk for svar på forhånd!

Determinant-funksjonen er multiplikativ, hvilket vil si at $\text{det}(AB) = \text{det}(A)\text{det}(B)$ for alle kvadratiske matriser $A$ og $B$. Et raskt induksjonsbevis gir da at $\text{det}(A^n) = \text{det}(A)^n$ for alle $A$ og alle $n\in\mathbb{N}.$

Dermed ser vi at dersom $A = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 9\end{vmatrix}$, får vi at $$\text{det}(A^9) = \text{det}(A)^9 = \left(3\cdot 9 - 5^2\right)^9 = 2^9 = 512.$$

[749whsehisdf]

Tusen takk for både svar og forklaring!