Vektoranalyse

[Kay]

Vektorfeltet [tex]\mathbf{G}[/tex] er gitt ved


[tex]\mathbf{G}=\frac{1}{3}(x+y^3)\mathbf{i}+(y^3+2z)\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}[/tex]


Jeg får beskjed om å finne [tex]\mathrm{Curl} \ \mathbf{G}[/tex] og [tex]\oint _ C \mathbf{G} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}[/tex] hvor [tex]C[/tex] er skjæringskurven mellom de to flatene som avgrenser [tex]T[/tex]. Får også beskjed om å velge orientering selv, men å angi hvilken vei jeg bruker.

Den første skal være grei nok

[tex]\mathrm{Curl} \ \mathbf{G}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ P &Q &R \end{vmatrix}= \mathbf{i}(\frac{\partial_R}{\partial y}-\frac{\partial_Q}{\partial z})-\mathbf{j}(\frac{\partial_R}{\partial x}-\frac{\partial_P}{\partial z})+\mathbf{k}(\frac{\partial_Q}{\partial x}-\frac{\partial_P}{\partial y})=\mathbf{i}(0-2)-\mathbf{j}(0-0)+\mathbf{k}(0-y^2)=-2\mathbf{i}-y^2\mathbf{k}[/tex]

Men det integralet der, det er jeg rett og slett ikke sikker på hvordan jeg kan gjennomføre. Hvis noen kunne ha gitt meg en sånn okay forklaring på hvordan det gjøres, så kunne jeg ha prøvd å løse det selv.

Edit: Oii, ser jeg mangler litt info her: Legemet [tex]T[/tex] er avgrenset nedentil av flaten [tex]z=x^2+3y^2[/tex] og oventil av flaten [tex]z=4-(3x^2+y^2)[/tex]

[reneask]

Vektorfeltet [tex]\mathbf{G}[/tex] er gitt ved


[tex]\mathbf{G}=\frac{1}{3}(x+y^3)\mathbf{i}+(y^3+2z)\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}[/tex]


Jeg får beskjed om å finne [tex]\mathrm{Curl} \ \mathbf{G}[/tex] og [tex]\oint _ C \mathbf{G} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}[/tex] hvor [tex]C[/tex] er skjæringskurven mellom de to flatene som avgrenser [tex]T[/tex]. Får også beskjed om å velge orientering selv, men å angi hvilken vei jeg bruker.

Den første skal være grei nok

[tex]\mathrm{Curl} \ \mathbf{G}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &\frac{\partial}{\partial z} \\ P &Q &R \end{vmatrix}= \mathbf{i}(\frac{\partial_R}{\partial y}-\frac{\partial_Q}{\partial z})-\mathbf{j}(\frac{\partial_R}{\partial x}-\frac{\partial_P}{\partial z})+\mathbf{k}(\frac{\partial_Q}{\partial x}-\frac{\partial_P}{\partial y})=\mathbf{i}(0-2)-\mathbf{j}(0-0)+\mathbf{k}(0-y^2)=-2\mathbf{i}-y^2\mathbf{k}[/tex]

Men det integralet der, det er jeg rett og slett ikke sikker på hvordan jeg kan gjennomføre. Hvis noen kunne ha gitt meg en sånn okay forklaring på hvordan det gjøres, så kunne jeg ha prøvd å løse det selv.

Edit: Oii, ser jeg mangler litt info her: Legemet [tex]T[/tex] er avgrenset nedentil av flaten [tex]z=x^2+3y^2[/tex] og oventil av flaten [tex]z=4-(3x^2+y^2)[/tex]

Ideen er å bruke Stokes' sats

$$
\oint_C \boldsymbol{v} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S \left(\nabla \times \boldsymbol{v}\right)\cdot\boldsymbol{n} \ dS
$$

Men hvordan? Vel siden skjæringskurven kan relateres til begge flatene, kan du velge hvilken flate du vil gjøre flateintegralet over. For å finne normalvektoren og grensene til flateintegralet blir du nødt til å parametrisere den flaten du ønsker å integrere over og deretter gjøre det fundamentale vektorproduktet. La r(u,v) være parametriseringen av flaten, da gir det fundamentale vektorproduktet deg

$$
\boldsymbol{n} \ dS = \pm\left(\frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{u}} \times \frac{\partial{\boldsymbol{r}}}{\partial{v}}\right)dudv
$$

Der du må passe på at orienteringen er riktig i forhold til Stokes' sats (kurven skal gjennomløpes mot klokken, så enhetsnormalvektoren må peke slik at hvis tommelen din peker i enhetsnormalvektorens retning, krøller fingrene dine i riktig omløpsretning).