Kontinuerlig?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Anonymbruker255

https://imgur.com/a/GT3tTXQ

Det er vel ikke nok å sjekke at lim (x, 0) -> (0, 0) = 0 og at lim (0, y) -> (0,0) = 0 ?
Noe slikt gjorde vi med funksjoner av en variabel? Men dette er vel ikke et bevis for at funksjonen er kontinuerlig?
Astal

Bruk kulekoordinater, og la r gå mot 0.

I mange tilfeller, inkludert dette, vil du da kunne stryke r over og under, og du står igjen med et uttryk av cos og sin, som gjør at grenseverdien må eksistere
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Som du har påpekt er det ikke nok å sjekke om $$\lim_{y\rightarrow 0} f(0,y) = \lim_{y\rightarrow 0} f(x,0).$$ Vi er nødt til å verifisere at grenseverdien eksisterer uansett fra hvilken retning vi ankommer origo. Om vi ankommer origo langs linja $y=x$ ser vi nemlig at $$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0) \text{ langs }y=x}f(x,y) = \lim_{t\rightarrow 0} f(t,t) = \lim_{t\rightarrow 0} \frac{t^2}{t^2 + t^2 + t^2} = \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{3t^2} = \frac13,$$ så grenseverdien $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ eksisterer ikke.
Astal skrev:Bruk kulekoordinater, og la r gå mot 0.

I mange tilfeller, inkludert dette, vil du da kunne stryke r over og under, og du står igjen med et uttryk av cos og sin, som gjør at grenseverdien må eksistere
Dette er feil. Dersom du bruker polarkoordinater, lar $r\rightarrow 0$ og ender med et uttrykk som avhenger av vinkelen $\theta$, viser dette at grenseverdien ikke eksisterer, nettopp fordi den avhenger av $\theta$, altså hvilken retning vi ankommer origo. I dette eksempelet vil du se at dersom du setter $\theta = 0$ får du én grenseverdi (nemlig $0$), men om du setter $\theta = \frac{\pi}{4}$ får du en annen (nemlig $\frac13$).
Anonymbruker225

Meget oppklarende DennisChristensen :)

Så i slike tilfeller som dette lønner det seg å se på grenseverdien når linja y = x ankommer origo?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Anonymbruker225 skrev:Meget oppklarende DennisChristensen :)

Så i slike tilfeller som dette lønner det seg å se på grenseverdien når linja y = x ankommer origo?
Det kommer helt an på funksjonsuttrykket. Poenget er at grenseverdien ikke eksisterer fordi den avhenger av i hvilken retning vi ankommer origo.
Gjest

Dennis, jeg prøvde meg på den samme oppgaven og brukte polarkoordinater, og kom frem til samme konklusjon som du skrev.

Er denne måten (polarkoordinater, også drøfte basert på uttrykket som faller ut med theta) en like fullgod metode som den du presenterer i det første innlegget ditt?

Den metoden du bruker der har jeg sett ofte bli brukt til å løse slike oppgaver, men det er ikke alltid jeg ser den med engang i slike oppgaver. Har også sett andre oppgaver hvor det foreslås å sette f.eks. [tex]y=k\cdot x^2[/tex], basert på det gitte funksjonsuttrykket som du også nevnte.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Gjest skrev:Dennis, jeg prøvde meg på den samme oppgaven og brukte polarkoordinater, og kom frem til samme konklusjon som du skrev.

Er denne måten (polarkoordinater, også drøfte basert på uttrykket som faller ut med theta) en like fullgod metode som den du presenterer i det første innlegget ditt?
Ja, dersom du viser at to ulike valg av $\theta$ vil føre til to ulike grenseverdier.
Gjest skrev:Den metoden du bruker der har jeg sett ofte bli brukt til å løse slike oppgaver, men det er ikke alltid jeg ser den med engang i slike oppgaver. Har også sett andre oppgaver hvor det foreslås å sette f.eks. [tex]y=k\cdot x^2[/tex], basert på det gitte funksjonsuttrykket som du også nevnte.
Dersom man ikke umiddelbart finner noen enkle retninger som separerer ut to forskjellige grenseverdier, kan absolutt polarkoordinater hjelpe i slike oppgaver. Merk deg at hvis du faktisk beviser at grenseverdien ikke avhenger av $\theta$, men er konstant, har du faktisk vist at grenseverdien eksisterer, og dermed at $f$ faktisk er kontinuerlig i det gitte punktet.
Svar