Divergensteorem

[An225]

https://imgur.com/a/CzqkLMU

Her er det vell mulighet for å anvende divergensteorem slik at du får et trippelintegral som man skal evaluere. Vet at enhetsnormalvektoren peker vekk fra området slik at den blir seende slik ut (-i, -j, k) z er da positiv? Men hvordan skal jeg finne grensene og i det hele tatt begynne med en slik oppgave? Hadde vært helt super med en god forklaring og kanskje en illustrerende figur (har prøvd å tegne, men vet ikke om det er riktig). Takker for svar!

[DennisChristensen]

https://imgur.com/a/CzqkLMU

Her er det vell mulighet for å anvende divergensteorem slik at du får et trippelintegral som man skal evaluere. Vet at enhetsnormalvektoren peker vekk fra området slik at den blir seende slik ut (-i, -j, k) z er da positiv? Men hvordan skal jeg finne grensene og i det hele tatt begynne med en slik oppgave? Hadde vært helt super med en god forklaring og kanskje en illustrerende figur (har prøvd å tegne, men vet ikke om det er riktig). Takker for svar!

En geometrisk skisse vil hjelpe deg veldig, ja. Vi vet at $T$ er avgrenset innenfor områdene gitt ved $x^2 + y^2 + z^2 \leq 4,$ $y\geq 0$ og $x\geq 0.$ Hvordan ser disse områdene ut hver for seg? Hvilket område får vi når vi kombinerer dem?

Slik du har påpekt kan vi, ettersom normalen $\hat{\mathbf{N}}$ peker utover, anvende divergensteoremet direkte. Da får vi at
$$\iint_{\partial T}\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{N}}\, \text{d}S = \iiint_T\nabla\cdot\mathbf{F}\, \text{d}V.$$ Nå, randen til området $T$ er delt opp i flere deler: Den første delen er $S$. Videre kan vi dele opp $\partial T$ i delene $$A = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \text{ }|\text{ }y=0, x^2 + z^2 \leq 4, x\geq 0\}$$ og $$B = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\text{ }|\text{ }x=0, y^2 + z^2 \leq 4, y \geq 0\}.$$ Dermed gir divergensteoremet oss at $$\iint_S\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{N}}\, \text{d}S = \iiint_T\nabla\cdot\mathbf{F}\, \text{d}V - \iint_A\mathbf{F}\cdot\mathbf{\hat{N}_A}\, \text{d}A - \iint_B\mathbf{F}\cdot\mathbf{\hat{N}_B}\, \text{d}B,$$ der $\mathbf{\hat{N}_A}$ har negativ $y$-komponent og $\mathbf{\hat{N}_B}$ har negativ $x$-komponent (så normalvektorene peker utover fra $T$).

Kommer du deg videre nå?

[Anonym223]

Sånn jeg har skjønt det er det slik at siden området vi skal integrere over har tre sideflater må vi summere flatene A og B som tilsammen er lik volum integralet? Hva blir så grensene til integraler A som vi har her? x går fra 0 til 2 og z fra -2 til 2? Da ender jeg opp med 8y^2 som jeg tviler på er riktig svar. Kan eventuellt sette y = 0 inn i integralet og dermed få at flaten A = 0. Men jeg skjønner ikke hvorfor det er slik?

[Anonym223]

Lurer også på hvordan grensene til volum integralet blir?
Med kulekoordinater kan det stemme at de blir: 0 ≤ theta ≤ pi/2, -pi/2 ≤ φ ≤ pi/2, 0 ≤ p ≤ 2 ? Div(F) er hvertfall 6z.

[DennisChristensen]

Du må parametrisere flatene $A$ og $B$. Eksempelvis har vi at $$A = \{(r\cos\theta,0,r\sin\theta) | -\frac{\pi}{2}\leq r\leq 2, 0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\}.$$
For volumintegralet får vi integrasjonsgrensene $$\int_{r=0}^2\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\phi = 0}^{\pi}6r^3\cos\phi\sin\phi\, \text{d}\phi\, \text{d}\theta\, \text{d}r.$$

[Ann225]

Du må parametrisere flatene $A$ og $B$. Eksempelvis har vi at $$A = \{(r\cos\theta,0,r\sin\theta) | 0\leq r\leq 2, 0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\}.$$
For volumintegralet får vi integrasjonsgrensene $$\int_{r=0}^2\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\phi = 0}^{\frac{\pi}{2}}6r^3\cos\phi\sin\phi\, \text{d}\phi\, \text{d}\theta\, \text{d}r.$$ Altså fant du riktige integrasjonsgrenser og regnet ut riktig $\nabla\cdot\mathbf{F}$. Godt jobbet!

Tusen takk! På parametriseringen av A skal ikke theta gå fra -pi/2 til pi/2? 0 til pi/2 blir bare første kvadrant, mens vi har en z som beveger seg -2 til 2 og y-akse og x-akse som er positiv.

[DennisChristensen]

Du må parametrisere flatene $A$ og $B$. Eksempelvis har vi at $$A = \{(r\cos\theta,0,r\sin\theta) | 0\leq r\leq 2, 0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\}.$$
For volumintegralet får vi integrasjonsgrensene $$\int_{r=0}^2\int_{\theta = 0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{\phi = 0}^{\frac{\pi}{2}}6r^3\cos\phi\sin\phi\, \text{d}\phi\, \text{d}\theta\, \text{d}r.$$ Altså fant du riktige integrasjonsgrenser og regnet ut riktig $\nabla\cdot\mathbf{F}$. Godt jobbet!

Tusen takk! På parametriseringen av A skal ikke theta gå fra -pi/2 til pi/2? 0 til pi/2 blir bare første kvadrant, mens vi har en z som beveger seg -2 til 2 og y-akse og x-akse som er positiv.

Skrev feil. Det skal være riktig nå.

[Ann225]

Så etter som vi vet at volum integralet blir 0 kan vi tilslutt finne den siste flaten: flateintegralet av A (xz) + B(yz) + C(xyz) = Volumintegralet. A(xz) = -2Pi, B(yz) = 0, altså får vi at svaret på oppgaven blir 2Pi.