Løysing av difflikning med Laplace.

[Gjest]

Løys difflikninga:

dx/dt + 7x = 5 cos (2t)

ved Laplace-transform.

Eg har omforma til s-verden og fått X(s) = 5s / ((s+7)(s^2+4)), men når eg delbrøkoppspaltar får eg uttrykk eg ikkje greier å konvertere tilbake til t-verden. :/

Den som greier å løyse denne difflikninga (med Laplace-transform) er ein knupp!

[Solar Plexsus]

Delbrøkoppspaltning gir

(1) 5s/[(s + 7)(s[sup]2[/sup] + 4)] = (5/53) [7s/(s[sup]2[/sup] + 4) + 4/(s[sup]2[/sup] + 4) - 7/(s + 7)].

For en gitt konstant a er funksjonen f med Laplace-transformasjonen F har vi følgende relasjoner:

(2) f(t)=e[sup]at[/sup], F(s)=1/(s - a),

(3) f(t)=cos(at), F(s)=s/(s[sup]2[/sup] + a[sup]2[/sup]),

(4) f(t)=sin(at), F(s)=a/(s[sup]2[/sup] + a[sup]2[/sup]).

Samlet gir (1)-(4) at

x(t) = (5/53) [7cos(2t) + 2sin(2t) - 7e[sup]-7t[/sup]].