La [tex]T : R^4 → R^2[/tex] være gitt ved:
[tex]T(x1, x2, x3, x4) = (2x1 + 2x2 − 3x3 + x4, 2x2 − 2x3 − x4)[/tex]
Hva er basisen for Nul(T) (der [tex]Nul(T) = {x ∈ R^4: T(x) = 0})[/tex]
?
Hva er basis for denne?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Du kan jo begynne med å løse likningssystemet $T\mathbf{x} = \mathbf{0}.$ Klarer du å finne en basis for løsningsrommet?Gjest skrev:La [tex]T : R^4 → R^2[/tex] være gitt ved:
[tex]T(x1, x2, x3, x4) = (2x1 + 2x2 − 3x3 + x4, 2x2 − 2x3 − x4)[/tex]
Hva er basisen for Nul(T) (der [tex]Nul(T) = {x ∈ R^4: T(x) = 0})[/tex]
?
Jeg spør hva løsningen er ikke hvordan man løser. Jeg har løst oppgaven, må bare kontrollsjekke.
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Gjest skrev:Jeg spør hva løsningen er ikke hvordan man løser. Jeg har løst oppgaven, må bare kontrollsjekke.
Vel, det finnes jo uendelig mange forskjellige riktige svar på oppgaven, så jeg hadde heller tatt noen "sanity checks" for å kontrollere svaret:
- Består basisen av lineært uavhengige vektorer?
- Gir svaret riktige dimensjoner?
Skjønt, du må gjerne legge ved arbeidet du har gjort, hvis du ønsker at noen skal sjekke det for deg.
[tex]\begin{bmatrix} 2& 2& -3& 1& \\ 1& 2& -2& -1& \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}[/tex]
etter litt regning ble det...
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 &-1 \\ 0 & 1 & -1/2 &-3/2 \end{bmatrix}[/tex]
som førte til at jeg fikk basis
[tex]\begin{bmatrix} -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & \\ 1/2& \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \\ 3/2 & \end{bmatrix}[/tex]
Er dette riktig? Hvis ikke vis hvordan det blir riktig da vel
etter litt regning ble det...
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 &-1 \\ 0 & 1 & -1/2 &-3/2 \end{bmatrix}[/tex]
som førte til at jeg fikk basis
[tex]\begin{bmatrix} -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & \\ 1/2& \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \\ 3/2 & \end{bmatrix}[/tex]
Er dette riktig? Hvis ikke vis hvordan det blir riktig da vel
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Det bør ringe en bjelle om at dette ikke er riktig svar, ettersom svaret ditt ikke består av vektorer i $\mathbb{R}^4$. Dersom vi reduserer den augmenterte matrisen får vi først $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 &-1 \\ 0 & 1 & -1/2 &-3/2 \end{pmatrix},$$ slik du skrev, som videre kan reduseres til $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -\frac12 & -\frac32\end{pmatrix}.$$ Fra dette ser vi at alle løsninger $\mathbf{x}$ til likningen kan skrives på formen $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_3 - 2x_4 \\ \frac12x_3 + \frac32x_4 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac12 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}x_3 + \begin{pmatrix} -2 \\ \frac32 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}x_4,$$ som gir oss basisen $$\mathcal{B} = \{\begin{pmatrix} 1 \\ \frac12 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ \frac32 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\}.$$Gjest skrev:[tex]\begin{bmatrix} 2& 2& -3& 1& \\ 1& 2& -2& -1& \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}[/tex]
etter litt regning ble det...
[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 &-1 \\ 0 & 1 & -1/2 &-3/2 \end{bmatrix}[/tex]
som førte til at jeg fikk basis
[tex]\begin{bmatrix} -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & \\ 1/2& \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \\ 3/2 & \end{bmatrix}[/tex]
Er dette riktig? Hvis ikke vis hvordan det blir riktig da vel