Hva er basis for denne?

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gjest

La [tex]T : R^4 → R^2[/tex] være gitt ved:
[tex]T(x1, x2, x3, x4) = (2x1 + 2x2 − 3x3 + x4, 2x2 − 2x3 − x4)[/tex]

Hva er basisen for Nul(T) (der [tex]Nul(T) = {x ∈ R^4: T(x) = 0})[/tex]

?
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Gjest skrev:La [tex]T : R^4 → R^2[/tex] være gitt ved:
[tex]T(x1, x2, x3, x4) = (2x1 + 2x2 − 3x3 + x4, 2x2 − 2x3 − x4)[/tex]

Hva er basisen for Nul(T) (der [tex]Nul(T) = {x ∈ R^4: T(x) = 0})[/tex]

?
Du kan jo begynne med å løse likningssystemet $T\mathbf{x} = \mathbf{0}.$ Klarer du å finne en basis for løsningsrommet?
Gjest

Jeg spør hva løsningen er ikke hvordan man løser. Jeg har løst oppgaven, må bare kontrollsjekke.
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Gjest skrev:Jeg spør hva løsningen er ikke hvordan man løser. Jeg har løst oppgaven, må bare kontrollsjekke.

Vel, det finnes jo uendelig mange forskjellige riktige svar på oppgaven, så jeg hadde heller tatt noen "sanity checks" for å kontrollere svaret:

- Består basisen av lineært uavhengige vektorer?
- Gir svaret riktige dimensjoner?

Skjønt, du må gjerne legge ved arbeidet du har gjort, hvis du ønsker at noen skal sjekke det for deg.
Gjest

[tex]\begin{bmatrix} 2& 2& -3& 1& \\ 1& 2& -2& -1& \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}[/tex]

etter litt regning ble det...

[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 &-1 \\ 0 & 1 & -1/2 &-3/2 \end{bmatrix}[/tex]


som førte til at jeg fikk basis

[tex]\begin{bmatrix} -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & \\ 1/2& \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \\ 3/2 & \end{bmatrix}[/tex]

Er dette riktig? Hvis ikke vis hvordan det blir riktig da vel
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

Gjest skrev:[tex]\begin{bmatrix} 2& 2& -3& 1& \\ 1& 2& -2& -1& \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix}[/tex]

etter litt regning ble det...

[tex]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 &-1 \\ 0 & 1 & -1/2 &-3/2 \end{bmatrix}[/tex]


som førte til at jeg fikk basis

[tex]\begin{bmatrix} -2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 & \\ 1/2& \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \\ 3/2 & \end{bmatrix}[/tex]

Er dette riktig? Hvis ikke vis hvordan det blir riktig da vel
Det bør ringe en bjelle om at dette ikke er riktig svar, ettersom svaret ditt ikke består av vektorer i $\mathbb{R}^4$. Dersom vi reduserer den augmenterte matrisen får vi først $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 &-1 \\ 0 & 1 & -1/2 &-3/2 \end{pmatrix},$$ slik du skrev, som videre kan reduseres til $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -\frac12 & -\frac32\end{pmatrix}.$$ Fra dette ser vi at alle løsninger $\mathbf{x}$ til likningen kan skrives på formen $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_3 - 2x_4 \\ \frac12x_3 + \frac32x_4 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac12 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}x_3 + \begin{pmatrix} -2 \\ \frac32 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}x_4,$$ som gir oss basisen $$\mathcal{B} = \{\begin{pmatrix} 1 \\ \frac12 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ \frac32 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\}.$$
Gjest

tusen hjertelig takk Dennis! :)
Gjest

spennende matrise, men hvor ble det av x_1 og x_2?
Svar