Dynamisk likevekt - Ka i ***

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gjest

[tex]x^\prime(t)=2x-y[/tex]

[tex]y^\prime(t)=5x[/tex]

Bestem hva slags likevektspunkt systemet her.
Eclipse
Cantor
Cantor
Innlegg: 138
Registrert: 19/01-2014 20:00

$x=0, y=0$?
reneask
Cayley
Cayley
Innlegg: 85
Registrert: 03/01-2018 18:00

Gjest skrev:[tex]x^\prime(t)=2x-y[/tex]

[tex]y^\prime(t)=5x[/tex]

Bestem hva slags likevektspunkt systemet her.
Du kan løse dette ved å finne egenverdier og egenvektor til en matrise A og bruke at egenvektorene er lineært uavhengige for å finne x(t) og y(t).

$$
\begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \ \begin{pmatrix} 2x(t)-y(t) \\ 5x(t)
\end{pmatrix}
$$

Når du har funnet løsningene for y(t) og x(t) er det bare å la t gå mot uendelig, så finner du likevektstilstanden dersom det er noen.
(Men det mangler initialbetingelser i informasjonen du har oppgitt)
Gjest

Her er oppgaven i sin helhet. Og det er ikke oppgitt noen initialbetingelser.

Bilde
Gjest

Løsningen er det her, men jeg skjønner ikke kalkulasjonen i det. Kan noen forklare hvordan det ble til?
Bilde
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Først og fremst, bare så vi har det på det rene; et likevektspunkt er der begge de deriverte er lik null. Hvis vi tegner et retningsdiagram av diff.likning-systemet får vi følgende bilde
Bilde
Man kan enkelt se av bildet at $(0,0)$ er et slikt punkt, men la oss bekrefte det ved regning; $$x'(t)=0 \implies 2x-y = 0 \\ y'(t)=0 \implies 5x=0$$ som har løsningene $x=0,y=0$. Det er altså et likevektspunkt i $(0,0)$. Legg dog merke til at oppgaven spør om hvilket type likevektspunkt systemet har, ikke dets koordinater. Vi skiller mellom 8 forskjellige type likevektspunkter; sentre, stabil node, stabil spiral, ustabil node, ustabil spiral, saddelpunkt, degenerert stabil node, degenerert ustabil node. Disse forskjellige type punktene beskriver oppførselen til tangentene i retningdiagrammet rundt likevektspunktet. Hvis vi ser på retningsdiagrammet ovenfor ser mønsteret rundt likevektspunktet ut som en spiral. La oss regne på dette for å få det bekreftet.

Generelt for en system av lineære differensiallikninger på formen $$x'(t)=ax+by \\ y'(t)=cx+dy$$, la $p=a+d$, $q=ad-cb$ og $\Delta = p^2-4q$. Da kan en finne typen likevektspunkt ut ifra følgende tabell:
Bilde

I vårt tilfelle fås $p=a+d=2+0=2$, $q=0-5 \cdot (-1)=5$ og $\Delta =2^2-4\cdot 5 = -16$, så likevektspunktet er en ustabil spiral.

Er ny til dette selv, så hvis jeg har tatt feil noe steder, setter jeg stor pris i å bli rettet opp. Tror for øvrig OP, og andre med samme spørsmål kan tjene godt på å lese gjennom følgende: https://www.wikipendium.no/TMA4165_Diff ... ktspunkter
Svar