MEK1100

[Christina97]

34015545_1032189356934123_8500610976029081600_n.jpg (245.69 kiB) Vist 1085 ganger

Noen som kan fortelle hvordan jeg løser denne?

[reneask]

34015545_1032189356934123_8500610976029081600_n.jpg

Noen som kan fortelle hvordan jeg løser denne?

Oppgaven skal løses som et flateintegral. Dette betyr at du må løse integral av typen:

$$
Q = \oint_S \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \ dS
$$

der sirkelen rundt integraltegnet poengterer at flaten er lukket. Til tross for at det er ett integraltegn er dette i prinsippet et dobbeltintegral. Nå er ikke en kube som oppgaven ber deg om å løse enkel å parametrisere, men du kan dele opp flaten i flere flater å løse den på følgende måte:

$$
Q = \oint_S \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \ dS = \sum_i \int_{S_i} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \ dS
$$

der flatene stykkevis settes sammen til den totale flaten S.

I dette tilfelle er det veldig enkelt å finne både enhetsnormalvektorer og dS. Jeg kan vise ett av flateintegralene, så kan du prøve resten.


Vi kan definere en mengde for flaten som ligger ved x = 1. Denne kan vi definere ved

$$
S_1 = \left\{ (x,y,z) \ : x= 1, \ 0 \leq z \leq 1 , \ 0 \leq y \leq 1 \right\}
$$

I tillegg får vi

$$
\boldsymbol{n} = \boldsymbol{i}, \ dS = dydz
$$

Normalvektoren blir slik fordi den må peke ut av området som den lukkede flaten avgrenser og ha lengde 1.

Da får vi

$$
Q_1 = \int_{S_1} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \ dS = \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} \left(4x^2y\boldsymbol{i} + xyz\boldsymbol{j} + yz^2\boldsymbol{k}\right) \cdot \boldsymbol{i} \ dzdy = \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} 4x^2y \ dzdy
$$

Siden x = 1 har vi da

$$
Q_1 = \int\limits_{0}^{1} \int\limits_{0}^{1} 4y \ dzdy = 4 \bigg[\frac{1}{2}y^2\bigg]_{0}^{1}\cdot \bigg[ \ z \ \bigg]_{0}^{1} = 2
$$

Dette er generelt fremgangsmåten når du har så enkle flateintegraler der parametrisering er unødvendig for å generere en normalvektor.