La [tex]I(\upsilon ,T)=\frac{2\pi\upsilon^2}{c^2}\cdot \frac{h\upsilon}{e^{h\upsilon/K_bT}}[/tex] hvor [tex]c[/tex], [tex]K_b[/tex] og [tex]h[/tex] er konstanter mens upsilon og T er variabler.
Så definerer vi [tex]I(T)=\int_0^{\infty}I(\upsilon,T)d\upsilon[/tex]
Jeg veit ikke hvorfor jeg ikke får det til, men det står helt stille. Tenker at jeg naturligvis må behandle [tex]T[/tex] som en eller annen konstant her.
[tex]\int_0^\infty I(\upsilon,T)d\upsilon=\frac{2\pi h}{c^2}\int_0^\infty\frac{\upsilon}{e^{hv/K_bT}}[/tex]
Her tenker jeg at jeg kan innføre substitusjonen [tex]u\rightarrow hv/K_bT[/tex] slik at [tex]\frac{du}{d\upsilon}=(\frac{h}{K_bT}\upsilon)'=\frac{h}{K_bT}[/tex], men er litt usikker på åssen jeg skal gå videre i forhold til telleren. Det kan forsåvidt hende at jeg er helt på bærtur også egentlig, så kunne noen ha pekt meg i rett retning?
Trenger litt hjelp med et integral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
SÅ vidt jeg tolker, så nei.Markus skrev:Bare for å oppklare; $I(T)$ og $I(\upsilon, T)$ er ikke samme funksjoner? Eller er det jeg som tar feil? Har du oppgaven?
Det jeg mente å skrive var at [tex]I(T)[/tex] er definert som [tex]\int_0^\infty I(\upsilon,T)d\upsilon[/tex]
Etter min forståelse så spør du altså etter integralet $$\int_0^\infty \frac{2\pi\upsilon^2}{c^2}\cdot \frac{h\upsilon}{e^{h\upsilon/K_bT}} \, \text{d}\upsilon$$ Siden du skal integrere med hensyn på $\upsilon$ kan du se på $T$ som en konstant. Da fås $$\int_0^\infty \frac{2\pi\upsilon^2}{c^2}\cdot \frac{h\upsilon}{e^{h\upsilon/K_bT}} \, \text{d}\upsilon = \frac{2\pi h}{c^2} \int_0^\infty \frac{\upsilon^3}{e^{h\upsilon/K_bT}} \, \text{d}\upsilon $$ For å simplifisere integralet litt, la $\frac{h}{K_bT} = a$. Da er altså integralet $$\frac{2\pi h}{c^2}\int_0^\infty \upsilon^3e^{-a\upsilon} \, \text{d}\upsilon$$ som etter tre runder med delvis integrasjon blir til $$\frac{2\pi h}{c^2} \int_0^\infty \upsilon^3e^{-a\upsilon} \, \text{d}\upsilon = \frac{2\pi h}{c^2}\left[-\frac{\left(a^3\upsilon^3+3a^2\upsilon^2+6a\upsilon+6\right)\mathrm{e}^{-a \upsilon}}{a^4} \right ]_0^\infty = \frac{12\pi h^3}{K_b^4T^4c^2}$$ Der du må bruke L'Hôpital når du lar $\upsilon \to \infty$.
Har jeg misforstått, eller var det dette du spurte om? Enda viktigere - er det rett?
Har jeg misforstått, eller var det dette du spurte om? Enda viktigere - er det rett?
Sånn vættu, det var den jeg tenkte på. Skulle ha sett at jeg kunne ha subba og brukt delvis, thænksMarkus skrev:Etter min forståelse så spør du altså etter integralet $$\int_0^\infty \frac{2\pi\upsilon^2}{c^2}\cdot \frac{h\upsilon}{e^{h\upsilon/K_bT}} \, \text{d}\upsilon$$ Siden du skal integrere med hensyn på $\upsilon$ kan du se på $T$ som en konstant. Da fås $$\int_0^\infty \frac{2\pi\upsilon^2}{c^2}\cdot \frac{h\upsilon}{e^{h\upsilon/K_bT}} \, \text{d}\upsilon = \frac{2\pi h}{c^2} \int_0^\infty \frac{\upsilon^3}{e^{h\upsilon/K_bT}} \, \text{d}\upsilon $$ For å simplifisere integralet litt, la $\frac{h}{K_bT} = a$. Da er altså integralet $$\frac{2\pi h}{c^2}\int_0^\infty \upsilon^3e^{-a\upsilon} \, \text{d}\upsilon$$ som etter tre runder med delvis integrasjon blir til $$\frac{2\pi h}{c^2} \int_0^\infty \upsilon^3e^{-a\upsilon} \, \text{d}\upsilon = \frac{2\pi h}{c^2}\left[-\frac{\left(a^3\upsilon^3+3a^2\upsilon^2+6a\upsilon+6\right)\mathrm{e}^{-a \upsilon}}{a^4} \right ]_0^\infty = \frac{12\pi h^3}{K_b^4T^4c^2}$$ Der du må bruke L'Hôpital når du lar $\upsilon \to \infty$.
Har jeg misforstått, eller var det dette du spurte om? Enda viktigere - er det rett?
