True or false (algebra)

[Speidar]

Kunne trengt litt hjelp her jeg.

Indicate whether each statement is always true or sometimes false. Justify your answer by giving a logical argument or a counterexample.

a) If A is not square, the the row vectors of A must be linearly dependent.
b) If A is square, the either row vectors or the column vectors of A must be linearly independent.
c) If the row vectors and the column vectors of A are linearly independent, the A must be square.
d) Adding one additional column to a matrix A indreases its rank by one.

[Solar Plexsus]

a) Utsagnet er usant. Moteksempel: La A være 2x3-matrise med radvektorer r[sub]1[/sub]=(1,0), r[sub]2[/sub]=(0,1) og r[sub]3[/sub]=(1,1). Da er r[sub]1[/sub] + r[sub]2[/sub] = r[sub]3[/sub].

b) Utsagnet er usant. Moteksempel: En kvadratisk nullmatrise.

c) Utsagnet er sant. Anta at A er en mxn-matrise der rad- og kolonnevektorene er lineært uavhengige. Da er dim(radrom)=m og dim(kolonnerom)=n. Ifølge et kjent teorem i lineæralgebraen har en matrises rad- og kolonnerom samme dimensjonen. Ergo er m=n, som igjen betyr at A er en kvadratisk matrise.

d) Utsagnet er usant. Moteksempel: Legg til en nullkolonne, og rangen blir uforandret.

[Speidar]

Tusen takk.
Jeg følger opp med en annen oppgave jeg

Discuss how rank varies with t

A =

Kode: Velg alt

1 1 t
1 t 1
t 1 1

Om man setter t=0, får man vel rank(A)=3, t=1 gir rank(A)=1, t=2 gir rank(A)=3, men hvordan skal jeg "diskutere" dette?

[Andrina]

Du må rekkeredusere matrisen for å bringe den på trappeform. Så kan du se på rangen.

[Speidar]

Men hvordan bli kvitt t-en i rad 3, for å få 0 der?

[Speidar]

Jeg får den hit:

Kode: Velg alt

1 1   t
0 1-t t-1
0 1-t 1-t^2

Deretter vet jeg ikke helt, kan jo få den til:

Kode: Velg alt

1 1   t
0 1-t t-1
0 0   t-2+t^2

..hvis det hjelper?

[Andrina]

Ja, den trappeformen fikk jeg også. Nå ser du at t^2+t-2=(t-1)(t+2), så den siste rekken blir en nullrekke for t=1 eller t=-2.
Dessuten blir den andre rekken en nullrekke hvis og bare hvis t=1.

t=1: 1 1 1
0 0 0
0 0 0

rangen blir 1

t=-2: 1 1 -2
0 3 -3
0 0 0

rangen blir 2.

For alle andre verdier av t er rangen til matrisen =3, siden da er alle tre ledd 1-t, t-1, t^2+t-2 ulik 0

[Solar Plexsus]

Nå er

det(A) = - t[sup]3[/sup] + 3t - 2 = - (t - 1)[sup]2[/sup](t + 2)

Herav følger at rang(A)<=2 når t=-2 eller t=1 mens rang(A)=3 ellers. Ved å sette inn hhv. t=-2 og t=1 i A, er det lett å se at rang(A)=2 når t=-2 og rang(A)=1 når t=1.

[Speidar]

Takk skal dere ha!

Men tilbake til a) If A is not square, the the row vectors of A must be linearly dependent.

a) Utsagnet er usant. Moteksempel: La A være 2x3-matrise med radvektorer r[sub]1[/sub]=(1,0), r[sub]2[/sub]=(0,1) og r[sub]3[/sub]=(1,1). Da er r[sub]1[/sub] + r[sub]2[/sub] = r[sub]3[/sub].

Er det noe jeg ikke har skjønt, er det ikke nettopp lineært avhengige når de kan skrives som r[sub]1[/sub] + r[sub]2[/sub] = r[sub]3[/sub]?

[Andrina]

Joda, du tenker helt riktig. I dette "moteksemplet" er r1,r2,r3 faktisk lineært avhengige.

Men utsagnet er likevel usant. Du kan tenke deg en nxm matrise hvor n>m.
For eksempel:

La A være 3x2-matrisen med radvektorer a1=(1,0,0), a2=(0,1,0). Da er a1 og a2 lineært uavhengige.

[Speidar]

Ok, takk

[Solar Plexsus]

Beklageligvis har jeg i farten lest feil i oppgave a)! Jeg trodde det stod "lineært uavhengige". Derfor blir moteksemplet mitt ganske meningsløst.

Poenget er jo at når A er en ikke-kvadratisk mxn-matrise der m>n, så er radvektorene lineært avhengige (som mitt "moteksempel" er et eksempel på). Så for at radvektorene skal være lineært uavhengige, må m<n (som signaturen "Andrine" gir et eksempel på)

PS: En mxn-matrise er en matrise med m rader og n kolonner. I mitt "moteksempel" i oppgave a), er A en 3x2-matrise (ikke en 2x3-matrise som jeg skriver). Samme feil gjør signaturen "Andrine" i sitt moteksempel med matrisen A som har to radvektorer og tre kolonnevektorer. M.a.o. er A i dette tilfellet en 2x3-matrise.

[Speidar]

OK, greit å få klarhet i saker og ting. Takk igjen.

[Andrina]

ups ja mente at a1 og a2 skulle være kolonnevektorer :D

[Andrina]

... som gir heller ikke mening i denne oppgaven. Men men, bare glem det siste jeg sa og husk på at A er en 2x3-matrise.