Laplacetransformasjon av $t^r$ der $r \in \mathbb{R}$

[Markus]

For en funksjon $f(t)=t^n, \enspace n \in \mathbb{N}$, får jeg til å vise at $\mathcal{L}(t^n) = \frac{n!}{s^{n+1}}$ ved induksjon (og delvis integrasjon);

$\mathbf{n=0:}$
$\mathcal{L}(t^0) = \int_0^\infty t^0e^{-st} \, \text{d}t = -\frac{e^{-st}}{s} \bigg \vert_0^\infty = \frac{1}{s} = \frac{0!}{s^{0+1}} \qquad \checkmark$

$\mathbf{n=k:}$
Antar påstanden holder for $n=k$, altså at $\mathcal{L}(t^k) = \frac{k!}{s^{k+1}}$.

$\mathbf{n=k+1:}$
$\begin{alignat*}{1}
\mathcal{L}(t^{k+1}) &= \int_0^\infty t^{k+1}e^{-st} \, \text{d}t \\
&= \left[ \frac{t^{k+1}e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty + \frac{k+1}{s} \int_0^\infty t^ke^{-st} \, \text{d}t \\
&= \frac{k+1}{s}\mathcal{L}(t^k) = \frac{k+1}{s} \cdot \frac{k!}{s^{k+1}} = \frac{(k+1)!}{s^{(k+1)+1}} \qquad \blacksquare
\end{alignat*}$

Men hva med når $n \not \in \mathbb{N}$, altså at vi ønsker å finne $\mathcal{L}(t^r)$ når $r \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ - hvordan kan vi finne dens Laplacetransformasjon? En pdf-fil jeg fant sier at $\mathcal{L}(t^r) = \frac{\Gamma(r+1)}{s^{r+1}}$. Slik jeg har forstått det er $\Gamma$-funksjonen definert som den analytiske kontinuasjonen av fakultet-funksjon, med dens argument "skalert ned" et hakk, slik at vi på en måte kan "finne fakultet" av et hvilket som helst tall i $\mathbb{R}$. Det er således lett å se at formelen er en naturlig utvidelse av Laplacetransformasjonen av $t^n$, så "logisk" er det jo. Men; at det er logisk er ikke nok - hvordan kan vi vise dette rigorøst?

[DennisChristensen]

For en funksjon $f(t)=t^n, \enspace n \in \mathbb{N}$, får jeg til å vise at $\mathcal{L}(t^n) = \frac{n!}{s^{n+1}}$ ved induksjon (og delvis integrasjon);

$\mathbf{n=0:}$
$\mathcal{L}(t^0) = \int_0^\infty t^0e^{-st} \, \text{d}t = -\frac{e^{-st}}{s} \bigg \vert_0^\infty = \frac{1}{s} = \frac{0!}{s^{0+1}} \qquad \checkmark$

$\mathbf{n=k:}$
Antar påstanden holder for $n=k$, altså at $\mathcal{L}(t^k) = \frac{k!}{s^{k+1}}$.

$\mathbf{n=k+1:}$
$\begin{alignat*}{1}
\mathcal{L}(t^{k+1}) &= \int_0^\infty t^{k+1}e^{-st} \, \text{d}t \\
&= \left[ \frac{t^{k+1}e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty + \frac{k+1}{s} \int_0^\infty t^ke^{-st} \, \text{d}t \\
&= \frac{k+1}{s}\mathcal{L}(t^k) = \frac{k+1}{s} \cdot \frac{k!}{s^{k+1}} = \frac{(k+1)!}{s^{(k+1)+1}} \qquad \blacksquare
\end{alignat*}$

Men hva med når $n \not \in \mathbb{N}$, altså at vi ønsker å finne $\mathcal{L}(t^r)$ når $r \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ - hvordan kan vi finne dens Laplacetransformasjon? En pdf-fil jeg fant sier at $\mathcal{L}(t^r) = \frac{\Gamma(r+1)}{s^{r+1}}$. Slik jeg har forstått det er $\Gamma$-funksjonen definert som den analytiske kontinuasjonen av fakultet-funksjon, med dens argument "skalert ned" et hakk, slik at vi på en måte kan "finne fakultet" av et hvilket som helst tall i $\mathbb{R}$. Det er således lett å se at formelen er en naturlig utvidelse av Laplacetransformasjonen av $t^n$, så "logisk" er det jo. Men; at det er logisk er ikke nok - hvordan kan vi vise dette rigorøst?

La $r \in \mathbb{R}_{>0}$. Definisjonen til gammafunksjonen er følgende: $\Gamma(z) = \int_0^{\infty}x^{z-1}e^{-x}\, \text{d}x.$ Dette lar oss finne den ønskede Laplacetransformasjonen:

$$\mathcal{L}\{t^r\}(s) = \int_0^{\infty}t^{r}e^{-st}\, \text{d}t = \int_{u = 0}^{\infty}\left(\frac{u}{s}\right)^re^{-u}\frac{1}{s}\, \text{d}u = \frac{1}{s^{r+1}}\int_{u=0}^{\infty}u^{(r+1) - 1}e^{-u}\, \text{d}u = \frac{\Gamma(r+1)}{s^{r+1}}.$$

[Markus]

La $r \in \mathbb{R}_{>0}$. Definisjonen til gammafunksjonen er følgende: $\Gamma(z) = \int_0^{\infty}x^{z-1}e^{-x}\, \text{d}x.$ Dette lar oss finne den ønskede Laplacetransformasjonen:

$$\mathcal{L}\{t^r\}(s) = \int_0^{\infty}t^{r}e^{-st}\, \text{d}t = \int_{u = 0}^{\infty}\left(\frac{u}{s}\right)^re^{-u}\frac{1}{s}\, \text{d}u = \frac{1}{s^{r+1}}\int_{u=0}^{\infty}u^{(r+1) - 1}e^{-u}\, \text{d}u = \frac{\Gamma(r+1)}{s^{r+1}}.$$

Ah, det var ikke noe verre enn det nei.
Takk for hjelpen!