MA1101 TRIANGELULIKHETEN

[aeNTNU]

Trenger hjelp til denne oppgaven...

Vis at den omvendte triangelulikheten
|a − b| ≥ ||a| − |b|| ,
holder for alle reelle tall a og b. Hint: bruk triangelulikheten på a = a − b + b.

[Nebuchadnezzar]

Hei. Har du prøvd å bruke hintet på den vanlige trkantulikheten? Hva skjer?

[Gjest]

Hvordan bruker man triangelulikheten? Jeg vet liksom ikke hvor jeg skal starte på denne oppgaven... trenger hjelp for å komme igang

[Mattebruker]

Bruk hintet til Nebukadnesar: Sett u = a - b og v = b. Trekantulikheita gir då

[tex]|[/tex]u + v [tex]|[/tex] [tex]\leqslant[/tex] [tex]|[/tex]u[tex]|[/tex] + [tex]\left |v \right |[/tex]


Sett inn for u og v, og beviset er fullført.

[Myron]

Du er ikke helt i mål etter å ha endret variablene med [tex]a-b[/tex] og [tex]b[/tex].
Etter litt flytting får man [tex]|a-b|\geqslant |a|-|b|[/tex].

Hint:
Gjør det samme med [tex]b=b+a-a[/tex]

[Mattebruker]

Myron har heilt rett. Dei to hinta (Nebukadnesar og Myron ) gir oss desse ulikheitene:

[tex]\left |a - b \right |[/tex][tex]\geqslant[/tex] [tex]\left |a \right |[/tex] - [tex]\left |b \right |[/tex] [tex]\wedge[/tex][tex]\left | a - b\right |[/tex] = [tex]\left |b - a \right |[/tex][tex]\geq[/tex] [tex]\left |b \right |[/tex] - [tex]\left |a \right |[/tex] = -([tex]\left |a \right |[/tex] - [tex]\left |b \right |[/tex] ).


Vi endar opp med [tex]\left |a - b\right |[/tex] [tex]\geq[/tex] [tex]\left | a\right |[/tex] - [tex]\left |b \right |[/tex] og samtidig [tex]\left |a - b \right |[/tex][tex]\geqslant[/tex] -( [tex]\left |a \right |[/tex] - [tex]\left |b \right |[/tex] )

[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\left |a - b \right |[/tex][tex]\geqslant[/tex] abs( [tex]\left |a \right |[/tex] - [tex]\left |b \right |[/tex] ) ( q. e. d. )

[Markus]

Alternativt, siden $|a|^2=a^2$, $|b|^2 = b^2$ og $-2ab = \pm |2ab| \geq -2|ab| = -2|a||b|$ får vi at $$\begin{alignat*}{2} |a|^2 -2|a||b| + b^2 &\leq a^2 - 2ab + b^2 \\ (|a|-|b|)^2 &\leq (a-b)^2 \\ |(|a|-|b|)^2| &\leq |(a-b)^2| \\ ||a|-|b||^2 &\leq |a-b|^2 \\ ||a|-|b|| &\leq |a-b| \end{alignat*}$$ Som skulle vises.