matematikk.net

Gitt en ring $S$, en underring $R\leq S$, og et ideal $J\unlhd S$, vis at

1. $R\cap J\unlhd R$;
2. $(R+J)/J\leq S/J$;
3. $R/(R\cap J)\cong (R+J)/J$.

Så vidt jeg kan se så er $(R+J)/J=\{ r+J\mid r\in R \}$, altså mengden $R/J$ av alle left cosets av $J$ i $R$. Er grunnen til at man likevel skriver $(R+J)/J$ og ikke $R/J$, at selv om de er like som mengder, så er ikke nødvendigvis $J\subseteq R$ - slik at det ikke gir mening å skrive $J\unlhd R$, og at $R/J$ følgelig ikke er en kvotientring?

EDIT: Er det dette som er meningen med teoremet? At man kan ta en vilkårlig underring og et vilkårlig ideal, og danne en slags kvotientring?

stensrud skrev:Gitt en ring $S$, en underring $R\leq S$, og et ideal $J\unlhd S$, vis at

1. $R\cap J\unlhd R$;
2. $(R+J)/J\leq S/J$;
3. $R/(R\cap J)\cong (R+J)/J$.

Så vidt jeg kan se så er $(R+J)/J=\{ r+J\mid r\in R \}$, altså mengden $R/J$ av alle left cosets av $J$ i $R$. Er grunnen til at man likevel skriver $(R+J)/J$ og ikke $R/J$, at selv om de er like som mengder, så er ikke nødvendigvis $J\subseteq R$ - slik at det ikke gir mening å skrive $J\unlhd R$, og at $R/J$ følgelig ikke er en kvotientring?

Som du sier er $J$ ikke nødvendigvis et ideal i $R$, så det gir ingen mening å skrive $R/J$. Derimot er $J$ et ideal i $R+J$, og $R\cap J$ et ideal i $R$. Essensen i teoremet er deretter isomorfien i punkt 3.