Polarkoord - skissering

[Gjest]

1) Jeg skal skissere og finne arealet under kurven r[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup]*cos2t. Det er all infoen jeg har.

Først skal jeg skissere, men her er det jo ikke alle t-verdier som tilfredsstiller likningen, kan jo ikke ende opp med noe negativt på høyresiden. Hvordan skal jeg gjøre dette, må jeg plukke ut aktuelle intervall?

2) Hvordan finner jeg asymptotene til kruven r = 1/t hvor t>0 (t er "tetta")

[ingentingg]

Du må nok plukke ut det mest naturlige intervallet. f.eks fra -[pi][/pi]/2 til [pi][/pi]/2.

Etter det så kan du bruke formelen for areal under graf. og integrere fra de overnevte grenser.

2:

Du undersøker hvordan grafen oppfører seg når t går mot 0 og uendelig.

[Gjest]

Når det gjelder asymptotene,
lim [sub]t->0[/sub] r= 1/t = uendelig
lim [sub]t->uendelig[/sub] r= 1/t = 0

Fasiten sier horisontal asymptote y=1..

[Gjest]

Hm, det funker ikke helt dette.
Ser løsningsforslaget har skisser grafen som en horisontal sløyfe, med sentrum i orgio. Med intervallet som du nevner blir det ikke nok. Må jeg dele det opp i utrolig mange? [-[pi][/pi]/4, [pi][/pi]/4], [3[pi][/pi]/4, 5[pi][/pi]/4] osv? Evt. hvor langt?

Og når det gjelder integreringa, må jeg ikke også da dele opp integralet i disse små bitene? Tar formelen hensyn til omløpsretning, eller har ikke det noe å si?

[ingentingg]

Jeg forklarte visst litt vel kort.
Siden det er polarkoordinater så er x = rcost og y = rsint

Når t går mot uendlig går r mot null, altså origo.


I ditt tilfelle så blir x og y når t går mot 0

lim cost/t = = 1/0 = uendlig.

lim sint/t = 1

Den siste grenseverdien har du fra når du deriverte sinus første gang.

Av de 2 ovenstående punktene får man at y = 1 blir en horisontal asymptote når t går mot 0

[ingentingg]

angående skisseringen så holder det å se at den er symmetrisk om x aksen, pga cos2t og om y aksen pga at radiusen kan være både positiv og negativ.

Derfor kan du tegne en kvadrant. f.eks 1.kvadrant ved å variere t fra 0 til [pi][/pi]/2 og så spegle den om y og x aksen. Det er ihvertfall det letteste.

[Gjest]

Beklager, men jeg skjønner ikke de asymptotene jeg.
r = 1/t
[rot][/rot]x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 1/t
x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = 1/t[sup]2[/sup]

Jeg skjønner ikke hvordan du kommer frem til de uttrykkene.

[Gjest]

Jeg sitter og godt fast på 1). Altså, jeg får ikke til å skissere den, ei heller finne arealet.

Prøvde nå å variere t fra 0 til [pi][/pi]/4 (kan ikke være [pi][/pi]/2 som du skriver, da vil cos(2*([pi][/pi]/2)=-1, da vil høyresiden bli -1*a[sup]2[/sup], og venstresiden vil aldri bli negativ). Når jeg da setter inn for den aktuelle vinkelen i formelen får jeg jo ut at radien blir kvadratet av cos2t*a[sup]2[/sup], dette blir da et tall x*a, som angir lengden til tilhørende vinkel. Men som sagt, når jeg prøver å skissere dette blir det helt galt.

[Solar Plexsus]

Du har gitt at

(1) r(t)=│a│kv.rot(cos(2t))

der -[pi][/pi]/4<=t<[pi][/pi]/4. Husk at r(t) er avstanden fra origo til punktet (r(t)*cost, r(t)*sint). Så for å finne punktet som tilsvarer t=[pi][/pi]/12 setter du inn denne t-verdien inn i (1) og får r=│a│/[rot][/rot]2. Dermed ligger punktet på den rette linjen gjennom origo der vinkelen mellom den positive x-aksen og linja er [pi][/pi]/12 i avstand │a│/[rot][/rot]2 fra origo.
Her er det lurt å først merke av punktene (│a│,0) og (0,│a│) i samme avstand fra origo. En passende avstand kan være 5 cm.

[ingentingg]

Angående de grenseverdiene du ikke skjønner.

uttrykket ditt er r=1/t
i Polarkoordinater så er:

x = rcost og y = rsint når r er avstand fra origo og t er vinkelen.

Tar man så lim av x når t går mot 0 får man:
lim rcost = lim 1/t *cost = cost/t = uendelig.

får y får man:

lim rsint = lim 1/t * sint = lim sint/t som er en kjent grenseverdi fra derivasjon av sinus.

[Gjest]

Jess jess, nå fikk jeg til 2) og delvis 1). Mangler bare å finne arealet kurven skriver.

Tenkte først jeg kunne ta
4 * (1/2) [itgl][/itgl] a[sup]2[/sup]*cost dt, fra 0 til [pi][/pi]/4
-men det ble lik 0.

Så her trenger jeg litt tips.

[Solar Plexsus]

Integranden skal være a[sup]2[/sup]cos(2t), ikke a[sup]2[/sup]cos(t).

[Gjest]

Da ble det rett gitt! Woha!