matematikk.net

hvordan skal man starte når man skal finne supremum, infimum og grenseverdi for følgen:
Xn n∈N gitt ved

Xn = (-1)^n/(n)


og bruke definisjonene til å vise dette stringent?

forvirra1223 skrev:hvordan skal man starte når man skal finne supremum, infimum og grenseverdi for følgen:
Xn n∈N gitt ved

Xn = (-1)^n/(n)


og bruke definisjonene til å vise dette stringent?

Vi begynner med grenseverdien. Det er ganske naturlig å gjette at $x_n \rightarrow 0$ når $n\rightarrow\infty$, så la oss prøve å bevise dette. La $\varepsilon > 0$ være gitt. Dersom $n \geq \frac{1}{\varepsilon}$ ser vi at $|x_n - 0| = |\frac{(-1)^n}{n} - 0| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{(\frac{1}{\varepsilon})} = \varepsilon$. Dermed har vi vist at $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = 0$, som ønsket.

En konvergerende følge må være begrenset. Ettersom mengden $\{x_n \in \mathbb{R}\mid n\in \mathbb{N}\}$ ikke er tom, vet vi derfor at følgens supremum og infimum eksisterer. Ettersom $|x_n| = \frac{1}{n}$, er følgen $(|x_n|)$ ikke-negativ og strengt avtakende. Ettersom $x_{2n} \geq 0$ og $x_{2n-1} \leq 0$ for alle $n\in\mathbb{N}$, forteller dette oss at $\sup (x_n) = \frac12$ og $\inf (x_n) = -1$.