følger

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

følger

Innlegg whaaat? » 05/09-2018 18:13

Hvilke av følgene nedenfor er begrenset oven-/underifra (angi en begrensning) og/eller
voksende/avtakende (gi et argument)?

Følgen (xn)n gitt ved
X1 =√2,
Xn+1 =√(2 + xn) , n ≥ 1.
Hint: Følgen er konvergent med lim n→∞ Xn = 2.

stemmer det at følgen er begrenset nedenifra med begrensning sqrt(2) og at den er voksende?
whaaat? offline

Re: følger

Innlegg DennisChristensen » 06/09-2018 12:32

whaaat? skrev:Hvilke av følgene nedenfor er begrenset oven-/underifra (angi en begrensning) og/eller
voksende/avtakende (gi et argument)?

Følgen (xn)n gitt ved
X1 =√2,
Xn+1 =√(2 + xn) , n ≥ 1.
Hint: Følgen er konvergent med lim n→∞ Xn = 2.

stemmer det at følgen er begrenset nedenifra med begrensning sqrt(2) og at den er voksende?


Hintet forteller oss at følgen må være begrenset både oven- og nedenfra, så vi bør jakte på å bevise dette. To raske induksjonsbevis vil vise deg at $0 \leq x_n \leq 2$ for alle $n\in\mathbb{N}$. Vi ønsker å undersøke om følgen er voksende eller avtakende. Ettersom $x_n^2 - x_{n+1}^2 = x_n^2 - x_n - 2 = (x_n+1)(x_n - 2) \leq 0$ for alle $n$, ser vi at følgen er voksende ($x_{n+1}^2 \geq x_n^2 \implies x_{n+1} \geq x_n$ ettersom alle ledd er $\geq 0$).

Merk deg nå til slutt at vi kan bevise hintet. Vi vet at en voksende følge som er begrenset ovenfra må konvergere, la oss si $x_n \rightarrow x$ når $n \rightarrow \infty$. Men da må også $x_{n+1} \rightarrow x$ når $n \rightarrow \infty$, så om vi lar $n\rightarrow\infty$ i den rekursive definisjonen av $x_{n+1}$ får vi at $x = \sqrt{2 + x}$. Løser vi denne likningen får vi at $x=2$.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 751
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 23 gjester