matematikk.net

Jeg sitter med en oppgave om kontinuitet, og skal bruke epsilon-delta definisjonen for å vise at funksjonen [tex]f(x) = 2x^2 +3[/tex] er kontinuerlig i punktet 1. Da har jeg regnet ut, og fikk til slutt uttrykket
[tex]\delta \leq -1 + \frac{1}{2}\cdot \sqrt{4 + 2\epsilon}[/tex]

Er dette riktig? Er det meningen at man skal få så kompliserte uttrykk for [tex]\delta[/tex], eller skal det være enklere?

Å vise at $f(x)=2x^2+3$ er kontinuerlig i $x=1$ er ekvivalent med å vise at $\lim_{x \to 1} 2x^2+3=5$ ved $\epsilon-\delta$-definisjonen på en grenseverdi. Vi må altså vise at gitt $x \in D_f$ gjelder $\forall \epsilon > 0 \enspace \exists \delta > 0 : |x-1| < \delta \implies |f(x)-5| < \epsilon$. Anta wlog at $|x-1|<1 \therefore x \in (0,2) \therefore |x+1| < 3$. Vi har nå at $$\begin{alignat*}{2}
|f(x)-5| &= |2x^2+3-5| \\ &= |2x^2-2| \\ &= 2|x^2-1| \\ &= 2|x+1||x-1| \\ &< 6|x-1| < \epsilon \end{alignat*}$$ dersom $|x-1|<\delta$ og vi velger $\delta = \min \left(\frac{\epsilon}{6},1 \right)$. Dette fullfører beviset.

Til alle dere som leser denne tråden og er litt mer dreven på $\epsilon-\delta$ enn meg ønsker jeg gjerne å få tilbakemeldinger på beviset.