matematikk.net

Undersøk om følgende funksjon er kontinuerlig forx≥0:

f(x) ={x+√x−2/x−1, x ikke lik 1.
= { 1, x= 1.

Hvordan går man frem på denne?

La ${\textstyle f(x) = \frac{x + \sqrt{x} - 2}{x - 1}}$ og sett $u = \sqrt{x}$. Herav følger at

$f(x) = \frac{u^2 + u - 2}{u^2 - 1} = \frac{(u - 1)(u + 2)}{(u - 1)(u + 1)} = \frac{u + 2}{u + 1} = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}$

Dette medfører at

$\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{1} + 2}{\sqrt{1} + 1} = \frac{3}{2} \neq 1 = f(1)$.

Altså er $f$ diskontinuerlig i $x=1$.