matematikk.net

Hei!
Står fast på en oppgave i kalkulus 1.
a) Finn den generelle løsningen til differenslikningen [tex]x_n_+_2-5x_n_+_1-36x_n = 0[/tex]

Denne oppgaven er grei, har funnet den generelle løsningen [tex]x_n=C9^n+D(-4)^n[/tex]
Problemet kommer i b-oppgaven:

b) La [tex](x_n)^\infty_1[/tex] være en vilk ̊arlig løsning til differenslikningen i del a), som ikke er null-løsningen [tex]x_n\equiv 0[/tex]. Regn ut grenseverdien
[tex]\lim_{n->\infty} \frac{x_n+1}{x_n}[/tex]
for de forskjellige mulighetene som du har funnet i del a).

Her har jeg rett og slett ikke peiling på hva jeg skal gjøre, og har trålet hele google på både norsk og engelsk for å finne ut hvordan jeg løser denne oppgaven. Finner ingenting i matteboka heller. Håper noen vet hvordan man løser denne oppgaven, og kan være så snill å hjelpe meg!

Formatteringen ble helt rar ser jeg, beklager.
Differenslikningen er:

[tex]x_{n+2}-5x_{n+1}-36x_n = 0[/tex]

og nederst skal det være

[tex]\frac{x_{n+1}}{x_n}[/tex]

Gitt at $x_n = C \cdot 9^n + D \cdot (-4)^n \not \equiv 0$ for alle $n \in \mathbb{N}$, i.e. $C \neq 0$ eller $D \neq 0$.
Nå er

$(1) \;\; \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{C \cdot 9^{n+1} + D \cdot (-4)^{n+1}}{C \cdot 9^n + D \cdot (-4)^n}$.

Ved å dele teller og nevner i brøken på høyre side av likhetstegnet i (1) med $9^n$, blir resultatet

$(2) \;\; \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{9C - 4D \cdot (-\frac{4}{9})^n}{C + D \cdot (-\frac{4}{9})^n}$.

Det faktum at ${\textstyle (-\frac{4}{9})^n \rightarrow 0}$ når $n \rightarrow \infty$ kombinert med (2) gir oss

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = 9$ når $C \neq 0$

og

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = -4$ når $C=0$ og $D \neq 0$.