matematikk.net

Hei, jeg sitter fast med en oppgave som jeg ikke greier å løse, selv om jeg har prøvd å derivere den flere ganger. Den ser slik ut:

[tex]g(x)=arccos(1/cosh(3x))[/tex]

Deretter skal jeg finne g'(ln(3)).

Er det noen som greier å løse denne, og gjerne også forklare trinnene?

Krisemann skrev:Hei, jeg sitter fast med en oppgave som jeg ikke greier å løse, selv om jeg har prøvd å derivere den flere ganger. Den ser slik ut:

[tex]g(x)=arccos(1/cosh(3x))[/tex]

Deretter skal jeg finne g'(ln(3)).

Er det noen som greier å løse denne, og gjerne også forklare trinnene?

Vi vet at $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ og at $\frac{\text{d}}{\text{d}x}\cosh x = \sinh x$. Bruker vi kjerneregelen og brøkregelen får vi dermed at
$$g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{\cosh (3x)}\right)^2}}\times \frac{-3\sinh (3x)}{\cosh^2 (3x)} = \frac{3\sinh (3x)}{\cosh^2 (3x)\sqrt{\frac{\cosh ^2 (3x) - 1}{\cosh^2 (3x)}}} = \frac{3\sinh (3x)}{\cosh^2 (3x)\sqrt{\frac{\sinh^2 (3x)}{\cosh^2 (3x)}}} = \frac{3\sinh (3x)\cosh (3x)}{\cosh^2 (3x)\sinh (3x)} = \frac{3}{\cosh (3x)} = 3\, \text{sech} (3x).$$

Tusen takk