Induksjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Induksjon

Innlegg MatematikkOslo » 23/09-2018 12:50

Jeg slitt med begge oppgavene. Kan noen her hjelpe meg med oppgaven?

Bilde

Bilde
MatematikkOslo offline
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 8
Registrert: 23/09-2018 10:05

Re: Induksjon

Innlegg Markus » 23/09-2018 16:35

Hva har du gjort så langt? På 5 kan du bruke induksjon.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Induksjon

Innlegg Myron » 23/09-2018 23:13

[tex]\large n^5-n=n((n^{2})^2-1^2)=n(n^2+1)(n^2-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)[/tex]
Fra dette kan man se at hvis [tex]n[/tex] sitt siste siffer er [tex]0,1,4,5,6,9[/tex] så er det delelig på [tex]5[/tex], men hva skjer hvis [tex]n[/tex] sitt siste siffer er [tex]2,3,7,8[/tex]? Hint: [tex](n^2+1)[/tex]
Myron offline
Noether
Noether
Innlegg: 40
Registrert: 02/03-2018 22:08

Re: Induksjon

Innlegg DennisChristensen » 26/09-2018 09:50

MatematikkOslo skrev:Jeg slitt med begge oppgavene. Kan noen her hjelpe meg med oppgaven?

Bilde

Bilde


12. Basistilfelle - $n=1$: VS$= (-1)^{1 + 1}1^2 = 1 = (-1)^{1+1}\frac{1(1+1)}{2} = $HS $\checkmark$
Induksjon - anta at likheten gjelder for en $n \geq 1$. Da får vi at
\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^{i+1}i^2 & = \sum_{i=1}^n(-1)i^2 + (-1)^{n+2}(n+1)^2 \\
& = (-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2} + (-1)^{n+2}(n+1)^2 \\
& = (-1)^{n+2}\left[(n+1)^2 - \frac{n(n+1)}{2}\right] \\
& = (-1)^{n+2}\frac{2(n^2 + 2n + 1) - (n^2 + n)}{2} \\
& = (-1)^{n+2}\frac{n^2 + 3n + 2}{2} \\
& = (-1)^{n+2}\frac{(n+1)(n+2)}{2},
\end{align*}
så påstanden er bevist for alle $n\geq 1$ ved induksjon.

Jeg er enig med Markus at 5. er enklest løst ved induksjon. Basistilfellet holder åpenbart. Anta at $n^5 - n$ er delelig med $5$. Da har vi at
$$(n+1)^5 - (n+1) = n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1 - n - 1 = (n^5-n) + 5(n^4 + 2n^3 + 2n^2 + n),$$
som også er delelig med $5$.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 786
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 18 gjester