tredjegradslikning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

tredjegradslikning

Innlegg Massenød » 25/09-2018 12:29

Vis at ligningen x^3 − x − 1 = 0 har en løsning i intervallet [1, 2]

Har fått denne oppgaven og vet ikke hvordan man løser den. Bruker kalkulator og setter inn verdiene i abc formel, og får at x = 1.3247...
problemet er at jeg vet ikke hvordan man viser det.
Massenød offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 3
Registrert: 25/09-2018 12:24

Re: tredjegradslikning

Innlegg DennisChristensen » 25/09-2018 12:41

Massenød skrev:Vis at ligningen x^3 − x − 1 = 0 har en løsning i intervallet [1, 2]

Har fått denne oppgaven og vet ikke hvordan man løser den. Bruker kalkulator og setter inn verdiene i abc formel, og får at x = 1.3247...
problemet er at jeg vet ikke hvordan man viser det.


Vi ser at $1^3 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 < 0,$ mens $2^3 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$, så ettersom polynomfunksjoner er kontinuerlige, må polynomet $x^3 - x - 1$ ha et nullpunkt i intervallet $[1,2]$. Det vil si, det finnes en løsning på likningen her.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 787
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: tredjegradslikning

Innlegg Emilga » 25/09-2018 12:44

Bruk mellomverdisetningen.

Sett $f(x) = x^3 - x - 1$.

Vi observerer at $f$ er kontinuerlig på $\mathbb{R}$ (og dermed også på $[1, 2]$.)

Siden $f(1) = -1 < 0$ og $f(2) = 5 > 0$, så må det eksistere en $c \in (1, 2)$ slik at $f(c) = 0$.

EDIT: Dennis kom meg i forkjøpet!
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1436
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: tredjegradslikning

Innlegg Massenød » 25/09-2018 12:56

Emilga skrev:Bruk mellomverdisetningen.

Sett $f(x) = x^3 - x - 1$.

Vi observerer at $f$ er kontinuerlig på $\mathbb{R}$ (og dermed også på $[1, 2]$.)

Siden $f(1) = -1 < 0$ og $f(2) = 5 > 0$, så må det eksistere en $c \in (1, 2)$ slik at $f(c) = 0$.

EDIT: Dennis kom meg i forkjøpet!


Ja, ser at likningen skal bli null og at svaret er x= 1.32471, men vet ikke utregningen av dette. Har som sakt bare tastet det inn på kalkulator.
Massenød offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 3
Registrert: 25/09-2018 12:24

Re: tredjegradslikning

Innlegg DennisChristensen » 25/09-2018 13:00

Massenød skrev:
Emilga skrev:Bruk mellomverdisetningen.

Sett $f(x) = x^3 - x - 1$.

Vi observerer at $f$ er kontinuerlig på $\mathbb{R}$ (og dermed også på $[1, 2]$.)

Siden $f(1) = -1 < 0$ og $f(2) = 5 > 0$, så må det eksistere en $c \in (1, 2)$ slik at $f(c) = 0$.

EDIT: Dennis kom meg i forkjøpet!


Ja, ser at likningen skal bli null og at svaret er x= 1.32471, men vet ikke utregningen av dette. Har som sakt bare tastet det inn på kalkulator.


Oppgaven spør kun om eksistensen til en løsning i intervallet, ikke at du finner løsningen.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 787
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: tredjegradslikning

Innlegg Massenød » 25/09-2018 13:03

DennisChristensen skrev:
Massenød skrev:
Emilga skrev:Bruk mellomverdisetningen.

Sett $f(x) = x^3 - x - 1$.

Vi observerer at $f$ er kontinuerlig på $\mathbb{R}$ (og dermed også på $[1, 2]$.)

Siden $f(1) = -1 < 0$ og $f(2) = 5 > 0$, så må det eksistere en $c \in (1, 2)$ slik at $f(c) = 0$.

EDIT: Dennis kom meg i forkjøpet!


Ja, ser at likningen skal bli null og at svaret er x= 1.32471, men vet ikke utregningen av dette. Har som sakt bare tastet det inn på kalkulator.


Oppgaven spør kun om eksistensen til en løsning i intervallet, ikke at du finner løsningen.


Å, takk for hjelpen!! Har sittet å lurt på denne i hele dag.
Massenød offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 3
Registrert: 25/09-2018 12:24

Re: tredjegradslikning

Innlegg Aleks855 » 25/09-2018 18:25

Massenød skrev:Vis at ligningen x^3 − x − 1 = 0 har en løsning i intervallet [1, 2]

Har fått denne oppgaven og vet ikke hvordan man løser den. Bruker kalkulator og setter inn verdiene i abc formel, og får at x = 1.3247...
problemet er at jeg vet ikke hvordan man viser det.


Burde kanskje nevne at abc-formelen ikke kan benyttes her, siden det er ei tredjegradslikning, og ikke andregrads.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5895
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: MSN [Bot] og 83 gjester