matematikk.net

Vis at ligningen x^3 − x − 1 = 0 har en løsning i intervallet [1, 2]

Har fått denne oppgaven og vet ikke hvordan man løser den. Bruker kalkulator og setter inn verdiene i abc formel, og får at x = 1.3247...
problemet er at jeg vet ikke hvordan man viser det.

Massenød skrev:Vis at ligningen x^3 − x − 1 = 0 har en løsning i intervallet [1, 2]

Har fått denne oppgaven og vet ikke hvordan man løser den. Bruker kalkulator og setter inn verdiene i abc formel, og får at x = 1.3247...
problemet er at jeg vet ikke hvordan man viser det.

Vi ser at $1^3 - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 = -1 < 0,$ mens $2^3 - 2 - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$, så ettersom polynomfunksjoner er kontinuerlige, må polynomet $x^3 - x - 1$ ha et nullpunkt i intervallet $[1,2]$. Det vil si, det finnes en løsning på likningen her.

Bruk mellomverdisetningen.

Sett $f(x) = x^3 - x - 1$.

Vi observerer at $f$ er kontinuerlig på $\mathbb{R}$ (og dermed også på $[1, 2]$.)

Siden $f(1) = -1 < 0$ og $f(2) = 5 > 0$, så må det eksistere en $c \in (1, 2)$ slik at $f(c) = 0$.

EDIT: Dennis kom meg i forkjøpet!

Emilga skrev:Bruk mellomverdisetningen.

Sett $f(x) = x^3 - x - 1$.

Vi observerer at $f$ er kontinuerlig på $\mathbb{R}$ (og dermed også på $[1, 2]$.)

Siden $f(1) = -1 < 0$ og $f(2) = 5 > 0$, så må det eksistere en $c \in (1, 2)$ slik at $f(c) = 0$.

EDIT: Dennis kom meg i forkjøpet!

Ja, ser at likningen skal bli null og at svaret er x= 1.32471, men vet ikke utregningen av dette. Har som sakt bare tastet det inn på kalkulator.

Massenød skrev:

Emilga skrev:Bruk mellomverdisetningen.

Sett $f(x) = x^3 - x - 1$.

Vi observerer at $f$ er kontinuerlig på $\mathbb{R}$ (og dermed også på $[1, 2]$.)

Siden $f(1) = -1 < 0$ og $f(2) = 5 > 0$, så må det eksistere en $c \in (1, 2)$ slik at $f(c) = 0$.

EDIT: Dennis kom meg i forkjøpet!

Ja, ser at likningen skal bli null og at svaret er x= 1.32471, men vet ikke utregningen av dette. Har som sakt bare tastet det inn på kalkulator.

Oppgaven spør kun om eksistensen til en løsning i intervallet, ikke at du finner løsningen.

DennisChristensen skrev:

Massenød skrev:

Emilga skrev:Bruk mellomverdisetningen.

Sett $f(x) = x^3 - x - 1$.

Vi observerer at $f$ er kontinuerlig på $\mathbb{R}$ (og dermed også på $[1, 2]$.)

Siden $f(1) = -1 < 0$ og $f(2) = 5 > 0$, så må det eksistere en $c \in (1, 2)$ slik at $f(c) = 0$.

EDIT: Dennis kom meg i forkjøpet!

Ja, ser at likningen skal bli null og at svaret er x= 1.32471, men vet ikke utregningen av dette. Har som sakt bare tastet det inn på kalkulator.

Oppgaven spør kun om eksistensen til en løsning i intervallet, ikke at du finner løsningen.

Å, takk for hjelpen!! Har sittet å lurt på denne i hele dag.

Massenød skrev:Vis at ligningen x^3 − x − 1 = 0 har en løsning i intervallet [1, 2]

Har fått denne oppgaven og vet ikke hvordan man løser den. Bruker kalkulator og setter inn verdiene i abc formel, og får at x = 1.3247...
problemet er at jeg vet ikke hvordan man viser det.

Burde kanskje nevne at abc-formelen ikke kan benyttes her, siden det er ei tredjegradslikning, og ikke andregrads.