Endepunkter til konvergeringsintervallet i potensrekke

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Endepunkter til konvergeringsintervallet i potensrekke

Innlegg 024ujsodifjosdf » 26/09-2018 17:18

Hei,

jeg lurte på om min forståelse er feil når det gjelder å sjekke endepunktene til konvergeringsintervallet av en potensrekke. La oss si at jeg blir spurt om å finne konvergeringsintervallet til potensrekken,

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}x^{n-1}[/tex]

Hvor jeg bruker forholdstesten,

[tex]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}x^{n-1}\Rightarrow \lim_{n \to \infty}|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| \Rightarrow \lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)x}{3n}\Rightarrow \frac{x}{3}[/tex]

Og kommer frem til at,

[tex]x>-3[/tex] og [tex]x<3[/tex]

Derfra må jeg sjekke endepunktene, for å se om rekken konvergerer på punktene [tex]-3[/tex] og [tex]3[/tex]. Når jeg prøver på dette, så er jeg usikker på hvordan jeg skal regne meg frem til et svar. Hvis jeg prøver froholdstesten på [tex]x=-3[/tex] og setter denne inn i rekken igjen, så får jeg bare at [tex]L=1[/tex], som er udefinert.

Hvordan skal jeg regne på endepunktene?
024ujsodifjosdf offline

Re: Endepunkter til konvergeringsintervallet i potensrekke

Innlegg Emilga » 27/09-2018 08:53

Vi skriver: $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}x^{n-1}$

Forholdstesten gir oss ingen konklusjon for konverges i endepunktene $x = \pm 3$.

Så vi sjekker dem separat:

$S(x = 3) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}3^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3}$

Altså:

$S(3) = \frac 13 \sum_{n=1}^{\infty} n = \infty$

Altså divergerer rekken for $x = 3$.
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1436
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 29 gjester