matematikk.net

Hei!
Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven? Jeg har at potensrekken til 1/ 1-x er ∑xˆ2 (n=0 -> uendelig)

Bruk potensrekken til 1/(1−x) på intervallet (−1, 1) til å finne potensrekkene i potenser av x til
A) 1/2 − x på intervallet (−2, 2)
(B) ln(2 − x) p˚a intervallet (−2, 2)

Siden $$\frac 1{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n$$

Kan vi sette $x = \frac 12 y$ og sette inn:

$$\frac 1{1- \frac 12 y} = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac 12 y \right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{2^n}$$

Utvider venstresiden med $2$ oppe og nede:

$$ \frac{2}{2-y} = \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{2^n} $$

Deler på $2$:

$$\frac 1{2-y} = \frac 12 \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{2^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{2^{n+1}}$$

Som var det vi ville vise.

For å finne potensrekken til $\ln (2-x)$ observerer vi at:

$$\int_{1}^x \frac{dy}{2-y} = \left[ \ln (2-y) \right]_{1}^x = \ln(2-x) - \ln(1) = \ln(2-x)$$


Altså finner vi potensrekken til $\ln (2-x)$ ved å integrere begge sider fra $1$ til $x$ i potensrekken vår for $\frac 1{2-y}$ :

$$\int_{1}^{x} \frac{dy}{2-y} = \int_{1}^{x} \sum_{n=0}^\infty \frac{y^n}{2^{n+1}} dy$$

$$\ln (2-x) = \sum_{n=0}^\infty \int_{1}^{x} \frac{y^n}{2^{n+1}} dy$$

(Vi kan integrere ledd for ledd, dvs flytte integraltegnet inni summetegnet, så lenge grensene er innenfor konvergensradiusen, hvis jeg husker riktig.)

Så er det bare å løse integralet og evt rydde opp.

Hjertelig takk for svar, og god forklaring!