matematikk.net

Skal Derivere/Integrere Maclaurinrekker, men....

f.eks vi har maclaurinrekka av cos(x) også skal vi finne sin(x), men får ikke til å integrere eller derivere. Hva er egentlig variable her? Kun x?

Maclaurinrekka til cos(x):
[sigma][sub]n=0[/sub][/sigma](-1)[sup]n[/sup]*x[sup]2n[/sup]/(2n!)

Du skal derivere mhp. variabelen x. Deriverer du (-1)[sup]n[/sup]*x[sup]2n[/sup]/(2n)! (skal være (2n)!, ikke 2n!) mhp. x for n>0, blir resultatet

(-1)[sup]n[/sup]*(2n)*x[sup]2n-1[/sup]/(2n)! = (-1)[sup]n[/sup]*x[sup]2n-1[/sup]/(2n-1)!.

Siden (cosx)' = -sinx, får du vha. av Mauclaurin-rekka til cosx at

sin x = - [sigma][/sigma][sub]n=1[/sub] (-1)[sup]n[/sup]*x[sup]2n-1[/sup]/(2n-1)!. = [sigma][/sigma][sub]n=1[/sub] (-1)[sup]n-1[/sup]*x[sup]2n-1[/sup]/(2n-1)!.

en ting jeg ikke helt forstår...
hvofor får vi Σ[sub]n=1[/sub] og (n-1)?

Setter du n=0 i (-1)[sup]n[/sup]*x[sup]2n[/sup]/(2n)!, får du 1 som første ledd i Maclaurinrekka til cosx. Den deriverte av 1 er 0. Derfor forsvinner leddet som tilsvarer n=0 når vi deriverer Maclaurinrekka til cosx.

(-1)[sup]n-1[/sup] kommer at at vi flytter minustegnet utenfor summasjonstegnet innenfor summasjonstegnet. Da får vi (-1)*(-1)[sup]n[/sup] = (-1)[sup]-1[/sup]*(-1)[sup]n[/sup] = (-1)[sup]n-1[/sup].