skrive om tan(3x) med taylor-rekker

[lim_frustrert]

Hei! Så jeg skal evaluere/finne grenseverdien til

limx→0 (10tan(3x)−30x)/3x^3

Det jeg da har prøvd er å omskrive tan(3x) til taylorrekker. Det jeg får da er enten 1 eller 1/3... Men ingen av disse er riktige. Har funnet ut at man kan omskrive tan(x)=x+1x^3/3+2x^5/15+..., men litt usikker når det er tan(3x), så prøvde litt forskjellig... Også prøvd med maclaurin rekkene til sin og cos siden tan(3x)=sin(3x)/cos(3x)

Ville satt stor pris på en liten hjelpende hånd i riktig retning!

[DennisChristensen]

Hei! Så jeg skal evaluere/finne grenseverdien til

limx→0 (10tan(3x)−30x)/3x^3

Det jeg da har prøvd er å omskrive tan(3x) til taylorrekker. Det jeg får da er enten 1 eller 1/3... Men ingen av disse er riktige. Har funnet ut at man kan omskrive tan(x)=x+1x^3/3+2x^5/15+..., men litt usikker når det er tan(3x), så prøvde litt forskjellig... Også prøvd med maclaurin rekkene til sin og cos siden tan(3x)=sin(3x)/cos(3x)

Ville satt stor pris på en liten hjelpende hånd i riktig retning!

\begin{align*}
\tan(3x) & = \frac{\sin(3x)}{\cos(3x)} \\
& = \frac{(3x) - \frac{(3x)^3}{3!} + O(x^5)}{1 - \frac{(3x)^2}{2!} + O(x^4)} \\
& = \left(x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5)\right)\left[1 + \left(\frac{(3x)^2}{2} + O(x^5)\right) + \left(\frac{(3x)^2}{2} + O(x^5)\right)^2 + O(x^6)\right] \\
& = 3x + \left(\frac12 - \frac16\right)(3x)^2 + O(x^5) \\
& = 3x + \frac13(3x)^3 + O(x^5) \\
& = 3x + 9x^3 + O(x^5)
\end{align*}
så
$$
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{10\tan(3x) -30x}{3x^2} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{10\left(3x + 9x^3 + O(x^5)\right) - 30x}{3x^3} = \lim_{x\rightarrow 0}\left(30 + O(x^2)\right) = 30.
$$