Jeg skal se om funksjonen gitt ved f:
x/(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]) hvis (x,y) <> (0,0),
0 hvis (x,y)=(0,0)
er kontinuerlig i (0,0). Da må alle linjer og kruver inn mot (0,0) grense mot det samme.
lim[sub](r,t)->(0,0)[/sub] r*cost/(r[sup]2[/sup](cos[sup]2[/sup]t+sint[sup]2[/sup]t) = lim[sub](r,t)->(0,0)[/sub] cost/r = 1/0 = -
Går det å dele på 0 der? Eller bør jeg gjøre det på en annen måte?
Så spørres det om å bestemme de partiellderiverte i (0,0) hvis de eksisterer, men sier ikke funksjonen at den er 0 i punktet (0,0), kan den da ha noen derivert der?
Limes
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Denne skulle jeg gjerne ha hatt svar på også... Men for å finne de partiellderiverte (hvis de eksisterer), må vi ikke da se på lim når h->0 til x/(x^2 + y^2) ? Men det bli r et mindre pent uttrykk... Så kunne uansett trengt litt hjelp...
Den første delen kan du vel gjøre om til polarkoordinater, da får du r^2 under og kan forkorte bort den omt den r'en du har over brøkstreken, og ettersom (x,y) -> (0,0) så må jo også r -> 0, og da eksisterer vel ikke denne grenseverdien, og funksjonen er derfor ikke kontinuerlig? Eller tar jeg feil?
Den første delen kan du vel gjøre om til polarkoordinater, da får du r^2 under og kan forkorte bort den omt den r'en du har over brøkstreken, og ettersom (x,y) -> (0,0) så må jo også r -> 0, og da eksisterer vel ikke denne grenseverdien, og funksjonen er derfor ikke kontinuerlig? Eller tar jeg feil?
Jeg tror jeg vet svaret... men dette må ikke ansees for noen "sannhet", for jeg er ikke så dreven, egentlig... vurder svaret selv!
Vi har funksjonen f(x,y)=x/(x^2+y^2)
Så holder vi y fast ved 0. Da er f = x/x^2 = 1/x. Og når x går mot null, så går grensen mot uendelig.
Grenseverdien finnes ikke, og funksjonen er ikke kontinuerlig.
Fo kontinuitet har vi jo om vi kan bevege oss på linjer inn mot origo, og om vi holder y fast ved null, så beveger vi oss langs y-aksen. Men da vi nærmer oss x=0, så går altså funksjonen mot uendelig, og vi har ikke kontinuitet, siden grensen burde ha gått mot null, og gått mot null langs med ALLE linjer inn mot origo.
Vi har funksjonen f(x,y)=x/(x^2+y^2)
Så holder vi y fast ved 0. Da er f = x/x^2 = 1/x. Og når x går mot null, så går grensen mot uendelig.
Grenseverdien finnes ikke, og funksjonen er ikke kontinuerlig.
Fo kontinuitet har vi jo om vi kan bevege oss på linjer inn mot origo, og om vi holder y fast ved null, så beveger vi oss langs y-aksen. Men da vi nærmer oss x=0, så går altså funksjonen mot uendelig, og vi har ikke kontinuitet, siden grensen burde ha gått mot null, og gått mot null langs med ALLE linjer inn mot origo.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
* Når det gjelder grenseverdien
lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] x/(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]),
så eksisterer den ikke. En måte å vise dette på, er vha. av polare koordinater (x=r*cost, y=r*sint) som gir
(1) lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] x/(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) = lim[sub]r->0[/sub] cost / r.
Legg merke til at (x,y)->(0,0) hvis og bare hvis r->0. Dette betyr for at grenseverdien (1) skal eksistere, må grenseverdien (1) bli den samme uansett hva t er. Velges t=0, ser vi at grenseverdien (1) blir
lim[sub]r->0[/sub] cos0 / r = lim[sub]r->0[/sub] 1 / r
som helt klart ikke eksisterer. Dermed kan vi konkludere med at lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] f(x,y) ikke eksisterer.
* Når det gjelder de partiellderiverte i (0,0), går det ikke an å fastslå at disse ikke eksisterer ettersom f er diskontinuerlig i (0,0) (noe man som kjent kan gjøre når f er en funksjon i en variabel fordi da er kontinuitet en forutsetning for deriverbarhet).
Definisjonen av de partiellderiverte i punktet (a,b) er
(2) f[sub]x[/sub](a,b) = lim[sub]h->0[/sub] [ f(a + h,b) - f(a,b) ] / h,
(3) f[sub]y[/sub](a,b) = lim[sub]h->0[/sub] [ f(a,b + h) - f(a,b) ] / h.
Setter vi (a,b)=(0,0) i (2) og (3), får vi at
f[sub]x[/sub](0,0) = lim[sub]h->0[/sub] [ f(h,0) - f(0,0) ] / h = lim[sub]h->0[/sub] (1/h - 0) / h = lim[sub]h->0[/sub] 1/h[sup]2[/sup] = ∞.
f[sub]y[/sub](0,0) = lim[sub]h->0[/sub] [ f(0,h) - f(0,0) ] / h = lim[sub]h->0[/sub] (0 - 0) / h = lim[sub]h->0[/sub] 0/h = lim[sub]h->0[/sub] 0 = 0.
(Legg merke til at h->0 betyr at h≠0).
Dermed blir konklusjonen at f[sub]x[/sub](0,0) ikke eksisterer og f[sub]y[/sub](0,0)=0.
lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] x/(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]),
så eksisterer den ikke. En måte å vise dette på, er vha. av polare koordinater (x=r*cost, y=r*sint) som gir
(1) lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] x/(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) = lim[sub]r->0[/sub] cost / r.
Legg merke til at (x,y)->(0,0) hvis og bare hvis r->0. Dette betyr for at grenseverdien (1) skal eksistere, må grenseverdien (1) bli den samme uansett hva t er. Velges t=0, ser vi at grenseverdien (1) blir
lim[sub]r->0[/sub] cos0 / r = lim[sub]r->0[/sub] 1 / r
som helt klart ikke eksisterer. Dermed kan vi konkludere med at lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] f(x,y) ikke eksisterer.
* Når det gjelder de partiellderiverte i (0,0), går det ikke an å fastslå at disse ikke eksisterer ettersom f er diskontinuerlig i (0,0) (noe man som kjent kan gjøre når f er en funksjon i en variabel fordi da er kontinuitet en forutsetning for deriverbarhet).
Definisjonen av de partiellderiverte i punktet (a,b) er
(2) f[sub]x[/sub](a,b) = lim[sub]h->0[/sub] [ f(a + h,b) - f(a,b) ] / h,
(3) f[sub]y[/sub](a,b) = lim[sub]h->0[/sub] [ f(a,b + h) - f(a,b) ] / h.
Setter vi (a,b)=(0,0) i (2) og (3), får vi at
f[sub]x[/sub](0,0) = lim[sub]h->0[/sub] [ f(h,0) - f(0,0) ] / h = lim[sub]h->0[/sub] (1/h - 0) / h = lim[sub]h->0[/sub] 1/h[sup]2[/sup] = ∞.
f[sub]y[/sub](0,0) = lim[sub]h->0[/sub] [ f(0,h) - f(0,0) ] / h = lim[sub]h->0[/sub] (0 - 0) / h = lim[sub]h->0[/sub] 0/h = lim[sub]h->0[/sub] 0 = 0.
(Legg merke til at h->0 betyr at h≠0).
Dermed blir konklusjonen at f[sub]x[/sub](0,0) ikke eksisterer og f[sub]y[/sub](0,0)=0.