kompleks analyse

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

kompleks analyse

Innlegg Janhaa » 03/11-2018 16:14

noen som har forslag/løsning til oppgave 3

https://www.uio.no/studier/emner/matnat ... 2004_2.pdf

?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7730
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: kompleks analyse

Innlegg reneask » 03/11-2018 20:11

La
$$
f(z) = \frac{z^\alpha}{1+z^6}
$$
der $-1 < \alpha < 5$. Regner vi ut nullpunktene til $z^6+1 = 0$ finner vi at det kun er én av disse som ligger i området vi skal integrere rundt. Dette er en enkel pol ved
$z = e^{i\pi/6}$. Residyen er da gitt ved:

$$
\text{Res} (f(z), e^{i\pi/6}) = \frac{z^\alpha}{6z^5} \Big|_{z=e^{i\pi/6}} = \frac{1}{6}e^{i\pi(\alpha-5)/6}
$$

Residyteoremet gir da at integralet av $f(z)$ rundt kurven er gitt ved:

$$
\int_\Gamma f(z) dz = 2\pi i \frac{1}{6}e^{i\pi(\alpha-5)/6} = \frac{\pi}{3}e^{i\pi/2}e^{i\pi(\alpha-5)/6} = \frac{\pi}{3}e^{i\pi(\alpha-2)/6}
$$

Vi deler opp integralet i 4 linjeintegraler. La $\Gamma_R = \left\{ |z| = R, 0 \leq \theta \leq \pi/3 \right\}$, $\Gamma_\epsilon = \left\{ |z| = \epsilon, 0 \leq \theta \leq \pi/3 \right\}$ som løpes gjennom fra $\theta = \pi/3$ til $\theta = 0$ slik at vi har riktig omløpsretning når vi stykkevis setter sammen kurvene. Videre lar vi $\gamma$ være kurven som går langs vinkelen $\theta = \pi/3$ fra $\epsilon$ til $R$. Det siste kurveintegralet går langs den reelle aksen fra $\epsilon$ til $R$.
Vi kan bruke ML-estimatet til å avgjøre hva som skjer med kurveintegralene langs sirkelbuene:

$$
\Big| \int_{\Gamma_R} \frac{z^\alpha dz}{1+z^6}\Big| \leq \frac{R^\alpha}{R^6-1}\frac{\pi}{3} R \sim R^{\alpha-5} \to 0
$$
når $R \to \infty$ siden $-1 < \alpha <5$. I brøken har jeg brukt at $|z^6+1| \geq |z|^6 - 1$ som gir at $1/|z^6+1| \leq 1/(|z|^6 - 1)$

Vi gjør tilsvarende for den mindre sirkelbuen

$$
\Big| \int_{\Gamma_\epsilon} \frac{z^\alpha dz}{1+z^6}\Big| \leq \frac{\epsilon^\alpha}{1-\epsilon^6}\frac{\pi}{3} \epsilon \sim \epsilon^{\alpha+1} \to 0
$$
når vi lar $\epsilon \to 0$ siden $-1 < \alpha <5$

Integralet langs kurven $\gamma$ kan vi uttrykke slik:
$$
\int_\gamma \frac{z^\alpha}{1+z^6}dz = \int_R^\epsilon \frac{ (xe^{i\pi/3})^\alpha}{1+(xe^{i\pi/3})^6}e^{i\pi/3}dx = -e^{i\pi(\alpha+1)/3}\int_\epsilon^R \frac{x^\alpha}{1+x^6} dx
$$
der vi har parametrisert kurven ved å bruke $z = xe^{i\pi/3}$ som gir $dz = dxe^{i\pi/3}$ der $\epsilon \leq x \leq R$

Vi kan nå skrive opp alt dette pent og ryddig som:

$$
\int_\Gamma f(z) dz = \int_{\Gamma_R} f(z) dz + \int_{\Gamma_\epsilon} f(z) dz + \int_\epsilon^R\frac{x^\alpha}{1+x^6} dx -e^{i\pi(\alpha+1)/3}\int_\epsilon^R \frac{x^\alpha}{1+x^6} dx
$$

Med argumentene over utført kan vi da ta grensene $R \to \infty$ og $\epsilon \to 0$:

$$
\lim_{R \to \infty, \epsilon \to 0} \int_\Gamma f(z) dz = \left(1-e^{i\pi(\alpha+1)/3}\right)\int_0^\infty \frac{x^\alpha}{1+x^6} dx = \frac{\pi}{3}e^{i\pi(\alpha-2)/6}
$$
For enklere notasjon lar vi
$$
I \equiv \int_0^\infty \frac{x^\alpha}{1+x^6} dx
$$

Da har vi likningen
$$
\left(1-e^{i\pi(\alpha+1)/3}\right)I = \frac{\pi}{3}e^{i\pi(\alpha-2)/6}
$$
som gir
$$
I = \frac{\pi}{3}\frac{e^{i\pi(\alpha-2)/6}}{1-e^{i\pi(\alpha+1)/3}} = \frac{\pi}{3}\frac{1}{e^{-i\pi(\alpha-2)/6} - e^{i\pi(\alpha+4)/6}}
$$
Vi skal nå gjøre et lite algebraisk triks for å omforme brøken:
$$
e^{-i\pi(\alpha-2)/6} = e^{-i\pi(\alpha+1)/6}e^{i3\pi/6} = ie^{-i\pi(\alpha+1)/6}
$$
og
$$
e^{i\pi(\alpha+4)/6} = e^{i\pi(\alpha+1)/6}e^{i3\pi/6} = ie^{i\pi(\alpha+1)/6}
$$
Da får vi:
$$
I = \frac{\pi}{3i}\frac{1}{e^{-i\pi(\alpha+1)/6}-e^{i\pi(\alpha+1)/6}} = \frac{\pi}{3i}\frac{1}{-2i\sin(\pi(\alpha+1)/6)} = \frac{\pi}{6\sin \left(\frac{\pi(\alpha+1)}{6}\right)}
$$
der jeg brukt at $e^{-iz} - e^{iz} = -2i\sin(z)$
reneask offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 84
Registrert: 03/01-2018 18:00

Re: kompleks analyse

Innlegg Janhaa » 03/11-2018 21:00

Tusen takk for hjelpa.
Skal studere bidraget ditt nøye :)
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7730
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 13 gjester