Sum av geometrisk rekke

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Sum av geometrisk rekke

Innlegg Kwerty » 15/11-2018 12:17

Hei,

En funksjon f tar verdien [tex]5[/tex] i [tex]x=0.[/tex] Videre er den n te deriverte av [tex]f[/tex] i [tex]x=0[/tex] gitt ved.
[tex]f^{n}(0) = \frac{2n!}{10^n}[/tex] for [tex]n>= 1[/tex]. Det er gitt at f er analytisk, altså lik sin Maclaurin-rekke, på intervallet [tex](-10,10)[/tex]. Hva er [tex]f(0.5)[/tex] ?

Kan skrive om til

[tex]\sum_{n = 1}^{infinity} 2\frac{x^n}{10^n} = \frac{2}{1-\frac{x}{10}}[/tex]

trodde jeg, og så plugge inn x = 0.5. Hva har jeg gjort feil?
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Sum av geometrisk rekke

Innlegg DennisChristensen » 15/11-2018 15:02

Kwerty skrev:Hei,

En funksjon f tar verdien [tex]5[/tex] i [tex]x=0.[/tex] Videre er den n te deriverte av [tex]f[/tex] i [tex]x=0[/tex] gitt ved.
[tex]f^{n}(0) = \frac{2n!}{10^n}[/tex] for [tex]n>= 1[/tex]. Det er gitt at f er analytisk, altså lik sin Maclaurin-rekke, på intervallet [tex](-10,10)[/tex]. Hva er [tex]f(0.5)[/tex] ?

Kan skrive om til

[tex]\sum_{n = 1}^{infinity} 2\frac{x^n}{10^n} = \frac{2}{1-\frac{x}{10}}[/tex]

trodde jeg, og så plugge inn x = 0.5. Hva har jeg gjort feil?


$$f(x) = 5 + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{10^n}x^n.$$
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 796
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Sum av geometrisk rekke

Innlegg Kwerty » 15/11-2018 15:04

Hvorfor blir det slik?

Får forøvrig feil svar når jeg skriver

[tex]5+\frac{2}{1-\frac{0.5}{10}}[/tex]
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Sum av geometrisk rekke

Innlegg DennisChristensen » 15/11-2018 16:18

Kwerty skrev:Hvorfor blir det slik?


I ditt originale svar hadde du ikke tatt med $0$-tegradsleddet i Taylorrekken. Husk at
$$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) + \dots = f(0) + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n.$$

Kwerty skrev:Får forøvrig feil svar når jeg skriver

[tex]5+\frac{2}{1-\frac{0.5}{10}}[/tex]


Du kan ikke bare blindt bruke formelen for summen av uendelig geometrisk rekke uten å se på indekseringen. Om du bruker formelen riktig får du
$$\begin{align*}
f(x) & = 5 + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{10^n}x^n \\
& = 5 + 2\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{10^n}x^n - \frac{1}{10^0}x^0\right) \\
& = 5-2 + \frac{2}{1-\frac{x}{10}} \\
& = 3 + \frac{20}{10 - x} \\
& = \frac{3(10-x) + 20}{10-x} \\
& = \frac{50 - 3x}{10-x}.
\end{align*}$$
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 796
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Sum av geometrisk rekke

Innlegg Kwerty » 15/11-2018 16:21

Mange takk!! Har forøvrig et spørsmål til deg i tråden "endelig uttrykk for uendelig sum".
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 20 gjester