Vis at ligning har kun én løsning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Kwerty » 16/11-2018 14:53

Hei,

Vis at ligningen [tex]arctan(x) = x^2[/tex] har minst en løsning. Grunngi deretter at ligningen har nøyaktig én positiv løsning, r.

Første del av oppgaven er grei -da bruker jeg skjæringssetningen. Men, hvordan skal jeg grunngi at ligningen har nøyaktig én positiv løsning? På disse oppgavene er jeg vant med at den deriverte er strengt positiv/negativ, slik at det kun finnes ett tall som løser ligningen. Men her er den deriverte både positiv og negativ for x > 0.
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Aleks855 » 16/11-2018 15:17

$\arctan(x) = x^2$ er ekvivalent med $\arctan(x) - x^2 = 0$. Hvis du løser oppgaven med denne likninga i stedet blir det nok lettere å bruke metoden du allerede er inne på.
Bilde
Aleks855 online
Rasch
Rasch
Innlegg: 5741
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Mattegjest » 16/11-2018 15:37

NB !

Likninga

tan[tex]^{-1}[/tex]( x ) = x[tex]^{2}[/tex]


har to løysingar : x = 0 [tex]\vee[/tex] x [tex]\approx[/tex] 0.83
Mattegjest offline

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Kwerty » 16/11-2018 16:22

Aleks855 skrev:$\arctan(x) = x^2$ er ekvivalent med $\arctan(x) - x^2 = 0$. Hvis du løser oppgaven med denne likninga i stedet blir det nok lettere å bruke metoden du allerede er inne på.

Er slik jeg har skrevet det, men hvordan hjelper det meg?


@Mattegjest: Riktig, men kun én av dem er positive.
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Markus » 16/11-2018 18:47

La $f(x)=\arctan(x)-x^2$. Da er $f''(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2} - 2$ Herifra kan vi se at $f''(x)<0 \enspace \forall x \in \mathbb{R}$. Altså kan vi konkludere med at $f$ er konkav på hele $\mathbb{R}$. Da følger det at hvis $f$ krysser $x$-aksen, vil den gjøre det nøyaktig to ganger. Det er lett å bekrefte at $x=0$ er et nullpunkt. Se nå på $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$, vi får at $f\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{3} > 0$. Vi har klart å vise at et punkt er positivt og ligger til høyre for $x=0$. Da følger det av konkaviteten til $f$ at det neste nullpunktet er positivt fordi det ligger til høyre for $x=0$. Dette var det vi ønsket å vise.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 739
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Kwerty » 04/12-2018 18:22

Takk! seint svar her, men hvorfor stemmer den siste delen av forklaringen? Altså at ettersom det er en positiv funksjonsverdi til høyre for 0 er neste nullpunkt positivt.
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Markus » 04/12-2018 23:29

Kwerty skrev:Takk! seint svar her, men hvorfor stemmer den siste delen av forklaringen? Altså at ettersom det er en positiv funksjonsverdi til høyre for 0 er neste nullpunkt positivt.

Kanskje du bare overså det med et uhell, men jeg skrev også at $x=0$ er et nullpunkt. Så hvis $f(x)$ har en konkav form, krysser x-aksen i $x=0$, og har en positiv funksjonsverdi til høyre for nullpunktet i $x=0$ - hvordan ser den da ut? Hvor vil den da krysse x-aksen på nytt?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 739
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Kwerty » 05/12-2018 10:25

Markus skrev:
Kwerty skrev:Takk! seint svar her, men hvorfor stemmer den siste delen av forklaringen? Altså at ettersom det er en positiv funksjonsverdi til høyre for 0 er neste nullpunkt positivt.

Kanskje du bare overså det med et uhell, men jeg skrev også at $x=0$ er et nullpunkt. Så hvis $f(x)$ har en konkav form, krysser x-aksen i $x=0$, og har en positiv funksjonsverdi til høyre for nullpunktet i $x=0$ - hvordan ser den da ut? Hvor vil den da krysse x-aksen på nytt?

Tenker da at grafen er på vei "oppover" i x = 0, altså mot positive funksjonsverdier, også har den en positiv funksjonsverdi til høyre for x = 0, og vi vet dermed at neste nullpunkt må bli positivt. Er dette riktig ressonoment?
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Markus » 05/12-2018 10:50

Kwerty skrev:
Markus skrev:
Kwerty skrev:Takk! seint svar her, men hvorfor stemmer den siste delen av forklaringen? Altså at ettersom det er en positiv funksjonsverdi til høyre for 0 er neste nullpunkt positivt.

Kanskje du bare overså det med et uhell, men jeg skrev også at $x=0$ er et nullpunkt. Så hvis $f(x)$ har en konkav form, krysser x-aksen i $x=0$, og har en positiv funksjonsverdi til høyre for nullpunktet i $x=0$ - hvordan ser den da ut? Hvor vil den da krysse x-aksen på nytt?

Tenker da at grafen er på vei "oppover" i x = 0, altså mot positive funksjonsverdier, også har den en positiv funksjonsverdi til høyre for x = 0, og vi vet dermed at neste nullpunkt må bli positivt. Er dette riktig ressonoment?


Jepp, det er nesten helt riktig! Du må bare huske på å argumentere for at vi faktisk har et nytt nullpunkt pga. at $f$ er konkav. Hvis du plotter grafen inn i GeoGebra eller lignende, tror jeg du kommer til å se enda bedre hvorfor dette må følge av grafens konkave form.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 739
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Kwerty » 05/12-2018 13:49

Takk :) nytt spørsmål:

Hvor mange nullpunkt har funksjonen [tex]f(x) = x^2-ln(x^2+1)-1[/tex]

Kan jeg gjøre noe lignende her, ved å bruke den andrederiverte? Den andrederiverte er vel positiv for alle x, og funksjonen er dermed konveks. Kan jeg argumentere på denne måten? LF har nemlig gjort noe annet!
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Aleks855 » 05/12-2018 13:54

Kwerty skrev:Takk :) nytt spørsmål:

Hvor mange nullpunkt har funksjonen [tex]f(x) = x^2-ln(x^2+1)-1[/tex]

Kan jeg gjøre noe lignende her, ved å bruke den andrederiverte? Den andrederiverte er vel positiv for alle x, og funksjonen er dermed konveks. Kan jeg argumentere på denne måten? LF har nemlig gjort noe annet!


Som en liten korreksjon, så er den andrederiverte ikke-negativ for alle x. Den er 0 for x = 0.

Men ja, du skal kunne bruke en betraktning for den andrederiverte for å argumentere for antall nullpunkter. At LF har gjort noe annet er ikke overraskende. Det finnes flere veier til Rom.
Bilde
Aleks855 online
Rasch
Rasch
Innlegg: 5741
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Kwerty » 05/12-2018 14:06

Jepp, fint.. Holder dette ressonomentet?

Den deriverte er 0 for x = 0, altså er dette et kritisk punkt. Vi vet videre at grafen er konveks - og ettersom det kritiske punktet (må være et bunnpunkt?) ligger under x-aksen vil grafen skjære x-aksen to steder, altså har ligningen to løsninger.
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Markus » 05/12-2018 14:13

Kwerty skrev:Takk :) nytt spørsmål:

Hvor mange nullpunkt har funksjonen [tex]f(x) = x^2-ln(x^2+1)-1[/tex]

Kan jeg gjøre noe lignende her, ved å bruke den andrederiverte? Den andrederiverte er vel positiv for alle x, og funksjonen er dermed konveks. Kan jeg argumentere på denne måten? LF har nemlig gjort noe annet!


Aleks har allerede svart deg på ditt første spørsmål. En annen måte som kan brukes her er å se på $f'(x)$. Vi har at $f'(x)=2x-\frac{2x}{x^2+1}=\frac{2x^3+2x-2x}{x^2+1}=\frac{2x^3}{x^2+1}$. Nevneren er alltid positiv, så $f'(x)$ er negativ for $x<0$ og positiv for $x>0$. Det er lett å bekrefte at $x=0$ er et bunnpunkt, så siden $f$ er strengt synkende for $x<0$ og $f$ er strengt voksende for $x>0$, kan vi ha tre tilfeller. Enten så er $f(0)=0$, da har $f$ et nullpunkt. Eller så er $f(0)>0$, da har $f$ ingen nullpunkt. Siste mulighet er at $f(0)<0$. Siden $\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty$ og $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ og $f$ er kontinuerlig følger det at hvis $f(0)<0$ har $f$ nøyaktig to nullpunkt. Nå er $f(0)=-1$, så $f$ har to nullpunkt.

Edit:
Kwerty skrev:Jepp, fint.. Holder dette ressonomentet?

Den deriverte er 0 for x = 0, altså er dette et kritisk punkt. Vi vet videre at grafen er konveks - og ettersom det kritiske punktet (må være et bunnpunkt?) ligger under x-aksen vil grafen skjære x-aksen to steder, altså har ligningen to løsninger.

Jepp dette stemmer nesten! Det stemmer at vi har et bunnpunkt i $x=0$, ettersom den deriverte er negativ før $x=0$ og positiv etter. Du må huske på å argumentere for at $f$ faktisk krysser $x$-aksen. Det holder å se på hva som skjer når $x\to \pm \infty$ og bruke det at $f$ er kontinuerlig
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 739
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Kwerty » 05/12-2018 14:51

Takk for det! kan man forøvrig argumentere for bunnpunkt ved å si at funksjonen har høyere funksjonsverdi til venstre og høyre for nullpunktet? Altså ettersom f(1) og f(-1) f.eks er større enn f(0), må f(0) være et bunnpunkt. (i og med at den deriverte er 0 for x = 0)
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Vis at ligning har kun én løsning

Innlegg Markus » 05/12-2018 15:11

Kwerty skrev:Takk for det! kan man forøvrig argumentere for bunnpunkt ved å si at funksjonen har høyere funksjonsverdi til venstre og høyre for nullpunktet? Altså ettersom f(1) og f(-1) f.eks er større enn f(0), må f(0) være et bunnpunkt. (i og med at den deriverte er 0 for x = 0)

Siden du vet at $f$ er konveks og at $x=0$ er et kritisk punkt så kan du det, men det er mer generelt å se om den deriverte stiger/synker før og etter ekstremalpunktet.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 739
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 4 gjester