Side 1 av 1

Konvergens/divergens av rekker

InnleggSkrevet: 17/11-2018 13:53
Kwerty
Hei,

Har et spørsmål angående sammenligningstesten. La oss si at vi har rekken [tex]A = \sum_{n = 1}^{infinity} \frac{1}{2n+1}[/tex].

Ønsker å sammenligne med den harmoniske rekken [tex]B = \sum_{n = 0}^{infinity} \frac{1}{n}[/tex] som er større, og som vi vet divergerer. Spørsmålet mitt er: ettersom B divergerer, kan vi da si at A divergerer? Eller må vi bruke en annen test?

Re: Konvergens/divergens av rekker

InnleggSkrevet: 17/11-2018 16:27
DennisChristensen
Kwerty skrev:Hei,

Har et spørsmål angående sammenligningstesten. La oss si at vi har rekken [tex]A = \sum_{n = 1}^{infinity} \frac{1}{2n+1}[/tex].

Ønsker å sammenligne med den harmoniske rekken [tex]B = \sum_{n = 0}^{infinity} \frac{1}{n}[/tex] som er større, og som vi vet divergerer. Spørsmålet mitt er: ettersom B divergerer, kan vi da si at A divergerer? Eller må vi bruke en annen test?


Bruk forholdstesten på grenseform:

Teorem. La $(a_n)$ og $(b_n)$ være to positive følger og anta at
$$
\frac{a_n}{b_n}\rightarrow L,\mbox{ hvor }0 < L <\infty.
$$
Da konvergerer $\sum a_n$ hvis og bare hvis $\sum b_n$ konvergerer.

Bevis. Ettersom $\frac{a_n}{b_n}\rightarrow L$ vet vi at det finnes en $N$ slik at for alle $k\geq N$ har vi at $|\frac{a_k}{b_k} - L| < \frac12L$. Det vil si, $\frac12L<\frac{a_k}{b_k}<\frac32L.$ Dermed er $a_k < \frac32Lb_k$ og $b_k < 2\frac1La_k$, så vi kan bruke den vanlige forholdstesten til å bevise teoremet.

Re: Konvergens/divergens av rekker

InnleggSkrevet: 17/11-2018 17:09
Kwerty
Takk. Men vi kan altså ikke si noe om divergensen?

Re: Konvergens/divergens av rekker

InnleggSkrevet: 17/11-2018 19:40
Markus
Rekken divergerer. Hvis du skal bruke sammenligningstesten til dette må du finne en rekke som «begrenser» $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1}$ nedenifra, og som divergerer. Da følger det at rekken du nevner divergerer. Her har du funnet en øvre begrensing som divergerer, men det impliserer nødvendigvis ikke at rekken du nevner også divergerer. Men du er ikke langt unna i det hele tatt!

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n}$ begrenser $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}$ nedenifra (overbevis deg selv ved å skrive ut noen ledd), og $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n} = \frac15 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$. Her har vi den harmoniske rekken, som du nevner selv divergerer! Da divergerer $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5n}$, og siden den begrenset din rekke nedenifra vil også $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}$ divergere (av sammenligningstesten).