Delbrøksoppspalting

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Delbrøksoppspalting

Innlegg Kwerty » 18/11-2018 14:38

Hei,

skal utføre delbrøksoppspalting på følgende uttrykk:

[tex]\frac{1}{x(x^2-1)}[/tex]

Tanken min var å sette det opp slik:

[tex]\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2-1}[/tex]

Mistanken min er at denne formen er feil, ettersom [tex]x^2-1[/tex] kan faktoriseres ytterligere? Altså at man heller må skrive

[tex]\frac{A}{x} + \frac{B}{(x-1)} + \frac{C}{(x+1)}[/tex]

Er dette riktig?
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Delbrøksoppspalting

Innlegg Gjest » 18/11-2018 16:50

Er ikke begge to riktige?
Hvis du ikke faktoriserer nevneren, bruker du den første delbrøkoppspaltingen du skrev.
Hvis du utfører faktoriseringen (når det er mulig slik som her), bruker du den andre (siste) delbrøkoppspaltingen du skrev.
Gjest offline

Re: Delbrøksoppspalting

Innlegg Kwerty » 18/11-2018 17:39

Jeg får galt svar på den første muligheten jeg har skrevet opp.
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Delbrøksoppspalting

Innlegg Gjest » 18/11-2018 20:09

Ja, jeg tenkte meg om nå. Den siste er riktig.
[tex]\frac{1}{x(x^2-1)}=\frac{1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}[/tex]
Gjest offline

Re: Delbrøksoppspalting

Innlegg Gjest » 18/11-2018 20:17

Jeg glemte å legge til dette:
Den siste delbrøkoppspaltingen er riktig fordi [tex]x^2-1[/tex] kan faktoriseres videre.
For å illustrere forskjellen mellom tilfellene der faktorisering er mulig og faktorisering ikke er mulig, kan vi ta utgangspunkt i en liknende funksjon:

[tex]\frac{1}{x(x^4-1)}[/tex]

Vi ser hva som skjer videre her:
[tex]\frac{1}{x(x^4-1)}=\frac{1}{x((x^2)^2-1)}=\frac{1}{x(x^2-1)(x^2+1)}=\frac{1}{x(x-1)(x+1)(x^2+1)}[/tex]

Denne likner mye på den forrige vi diskuterte, men her ser vi til slutt at vi ender opp med [tex]x^2+1[/tex] som ikke lar seg faktorisere videre. Da blir delbrøkoppspaltingen slik:

[tex]\frac{1}{x(x-1)(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{Dx+E}{x^2+1}[/tex]
Gjest offline

Re: Delbrøksoppspalting

Innlegg Kwerty » 18/11-2018 21:04

Mange takk!
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 2 gjester