matematikk.net

Hei,

skal utføre delbrøksoppspalting på følgende uttrykk:

[tex]\frac{1}{x(x^2-1)}[/tex]

Tanken min var å sette det opp slik:

[tex]\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2-1}[/tex]

Mistanken min er at denne formen er feil, ettersom [tex]x^2-1[/tex] kan faktoriseres ytterligere? Altså at man heller må skrive

[tex]\frac{A}{x} + \frac{B}{(x-1)} + \frac{C}{(x+1)}[/tex]

Er dette riktig?

Er ikke begge to riktige?
Hvis du ikke faktoriserer nevneren, bruker du den første delbrøkoppspaltingen du skrev.
Hvis du utfører faktoriseringen (når det er mulig slik som her), bruker du den andre (siste) delbrøkoppspaltingen du skrev.

Jeg får galt svar på den første muligheten jeg har skrevet opp.

Ja, jeg tenkte meg om nå. Den siste er riktig.
[tex]\frac{1}{x(x^2-1)}=\frac{1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}[/tex]

Jeg glemte å legge til dette:
Den siste delbrøkoppspaltingen er riktig fordi [tex]x^2-1[/tex] kan faktoriseres videre.
For å illustrere forskjellen mellom tilfellene der faktorisering er mulig og faktorisering ikke er mulig, kan vi ta utgangspunkt i en liknende funksjon:

[tex]\frac{1}{x(x^4-1)}[/tex]

Vi ser hva som skjer videre her:
[tex]\frac{1}{x(x^4-1)}=\frac{1}{x((x^2)^2-1)}=\frac{1}{x(x^2-1)(x^2+1)}=\frac{1}{x(x-1)(x+1)(x^2+1)}[/tex]

Denne likner mye på den forrige vi diskuterte, men her ser vi til slutt at vi ender opp med [tex]x^2+1[/tex] som ikke lar seg faktorisere videre. Da blir delbrøkoppspaltingen slik:

[tex]\frac{1}{x(x-1)(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{Dx+E}{x^2+1}[/tex]

Mange takk!