Linær førsteordens difflikning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Linær førsteordens difflikning

Innlegg Kwerty » 19/11-2018 13:09

Hei,

Har følgende difflikning med initialbetingelse.

[tex](1+x^2)y'+2xy+x^6+x^4 = 0;y(0) = 33[/tex]

Her tenkte jeg egentlig å bruke metoden med integrerende faktor, men fikk det ikke til. Så da at den er enkel å omskrive til

[tex]\frac{d(1+x^2)y}{dx} = -x^6-x^4[/tex]

som er grei å løse. Spørsmålet mitt er: hvorfor funker ikke integrerende faktor her? Jeg ville "som vanlig" tatt utgpunkt i det ganget med y som integrerende faktor - og endt opp med:

[tex]P(x) = e^{x^2}[/tex], som integrerende faktor.
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Linær førsteordens difflikning

Innlegg Markus » 19/11-2018 21:05

Hvis du skal bruke integrerende faktor må diff.likningen være lineær i $y'$, men med $(1+x^2)$ ganget med den, er den definitivt ikke det. Siden $1+x^2\neq 0 \enspace \forall x$ kan vi dele med $(1+x^2)$ overalt som gir $$y'+y\frac{2x}{1+x^2} = -\frac{x^6+x^4}{1+x^2}$$ Integrende faktor blir her $e^{I}=e^{\log |x^2+1|}=x^2+1$ der $I=\int \frac{2x}{1+x^2} \, \text{d}x = \log|x^2+1|$ Dette gir nå $$\begin{alignat*}{2} (x^2+1)\left(y' + y\frac{2x}{1+x^2} \right) &= -\frac{x^6+x^4}{1+x^2} \cdot (1+x^2) = -x^6-x^4 \\
\left(y(x^2+1) \right)' &= -x^6-x^4 \\
\int \left(y(x^2+1)\right)' \, \text{d}x &= -\int \left(x^6+x^4\right) \, \text{d}x \\
y &= -\left(\frac{\frac{x^7}{7} + \frac{x^5}{5} + C}{x^2+1}\right) = -\frac{1}{35}\left(\frac{5x^7 + 7x^5 + C}{x^2+1} \right)\end{alignat*}$$
Markus offline
Abel
Abel
Innlegg: 687
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 12 gjester