Rotasjonslegeme

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Rotasjonslegeme

Innlegg Kwerty » 20/11-2018 10:29

Hei,

en skål blir lagd ved å rotere funksjonen

y(x) = 0 , for 0 <= x < 6
y(x) = (12/pi)*arcsin(x-6), for 6 < x <= 7

om y-aksen. Finn høyden og volumet til skålen.

Har lagt ved området jeg tror det er snakk om (vedlegg). Isåfall blir høyden til skålen y(7) = 6, men mer usikker på volumet. Tror det siste integralet er

[tex]2Pi\int_{6}^{7} (6+x)(6-\frac{12}{Pi}arcsin(x-6))dx[/tex]

Noen som kan hjelpe?
Vedlegg
Skjermbilde 2018-11-19 kl. 18.28.40.png
Skjermbilde 2018-11-19 kl. 18.28.40.png (18.35 KiB) Vist 357 ganger
Kwerty offline
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Re: Rotasjonslegeme

Innlegg ErikAndre » 26/11-2018 23:58

Det stemmer at høyden blir 6.

For å finne volumet finnes det to mulige fremgangsmåter (i realiteten finnes det nok mange flere, men det er disse to som er mest naturlige for meg i alle fall). Begge er ganske intuitive, men du må regne ut et litt kjipt integral i begge tilfeller. Jeg skal gjøre så godt jeg kan for å forklare fremgangsmåten til å sette opp integralene, men kommer ikke til å gå gjennom selve utregningen.

Metode 1
I dette tilfellet skal vi tenke på skålen som om den er bygget opp av uendelig mange tynne plater som vi legger oppå hverandre, oppover $y$-aksen. Her vil den nederste platen ha radius 6, og den øverste radius 7. Dette fremgår ganske tydelig av figuren din. Vi lar hver plate ha tykkelse [tex]\mathop{\mathrm{d}y}[/tex]. Volumet av én enkelt plate vil da være gitt ved [tex]\mathop{\mathrm{d}V} = \pi r^2 \mathop{\mathrm{d}y}[/tex]: Ganske enkelt areal gange høyde. Det vi mangler nå er å sette opp et uttrykk for radiusen. Merk at radiusen her er avstanden fra $y$-aksen. Siden vi har en inverterbar funksjon for nettopp denne, er det ganske greit å finne:

[tex]y(x) = \frac{12}{\pi} \arcsin{\left(x-6 \right)} \implies x(y) = \sin{\left(\frac{\pi}{12} y\right)} + 6[/tex].

Da er avstanden fra $y$-aksen til kanten av bollen ved en vilkårlig høyde $y \in (0, 6)$ altså gitt ved $x(y)$. For å finne volumet av bollen legger vi nå ganske enkelt sammen volumet av alle platene. Siden platene er uendelig tynne tilsvarer det å integrere over hele høyden:

[tex]V = \int \mathop{\mathrm{d}V} = \int_{0}^{6} 2 \pi \left\{\sin{\left(\frac{\pi}{12} y\right)} + 6\right\}^2 \mathop{\mathrm{d}y}[/tex].

Metode 2
I denne metoden tar vi utgangspunktet i volumet til sylinderen sentrert i $y$-aksen med radius 7 som går fra $y=0$ til $y=6$. Planen er å trekke fra overskuddsvolumet for å få volumet til skålen vår. Jeg anbefaler deg å tegne opp situasjonen for å forstå hva som foregår, og å overbevise deg selv om at denne fremgangsmåten gir mening.

Vi begynner altså med volumet til sylinderen, som åpenbart er gitt ved [tex]2 \pi \cdot 7^2 \cdot 6[/tex]. Kall dette volumet [tex]\hat{V}[/tex]. Dette er såklart større enn skålen vår, så vi trekker fra det som er under kanten definert av funksjonen fra $x=6$ til $x=7$. Igjen, bruk figuren din. Her regner vi ut volumet til sylinderskall. Disse befinner seg en radius $x$ fra [tex]y[/tex]-aksen, har høyde [tex]y(x)[/tex], og er [tex]\mathop{\mathrm{d}x}[/tex] tykke. Volumet av et enkelt sylinderskall er dermed gitt ved $2\pi \cdot x \cdot y(x) \mathop{\mathrm{d}x}$. Vi kaller dette overskuddsvolumet [tex]\tilde{V}[/tex]. Igjen finner vi det totale volumet ved å integrere, men nå må vi huske at her er det bare overskuddsvolumet vi skal trekke ifra. Da får vi:

[tex]V = \hat{V} - \tilde{V} = 2 \pi \cdot 7^2 \cdot 6 - \int_{6}^{7} 2\pi \cdot x \cdot y(x) \mathop{\mathrm{d}x} = 2 \pi \cdot 7^2 \cdot 6 - 24 \int_{6}^{7} x \arcsin{\left(x-6 \right)}\mathop{\mathrm{d}x}.[/tex]

Den siste likheten følger av noen forenklinger av uttrykket [tex]2\pi y(x)[/tex] når vi setter inn for [tex]y(x)[/tex]. Om du regner ut begge uttrykkene (eller eventuelt bruker f.eks. Wolfram Alpha til å regne dem ut) ser du at du får samme svar, slik det burde være.
ErikAndre offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 86
Registrert: 15/02-2016 20:21

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 24 gjester