rart integral

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

rart integral

Innlegg Janhaa » 24/11-2018 19:00

Er litt rusten i integraler for tia, noen som har forslag på denne:

[tex]\large I=\int_{0}^{\pi/2}(\cos^2(\cos(x))+\sin^2(\sin(x)))\,dx[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7630
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: rart integral

Innlegg Markus » 24/11-2018 19:29

Hint: Siden $\int_a^b f(a+b-x) \, \text{d}x = \int_a^b f(x) \, \text{d}x$ har vi at $$I=\int_0^{\pi/2} (\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\sin(x))) \, \text{d}x = \int_0^{\pi/2} (\cos^2(\sin(x)) + \sin^2(\cos(x))) \, \text{d}x$$ Hvilken kjent trigonometrisk identitet kan du bruke for å addere disse to integralene til en superlett integrand?

For å ikke ødelegge moroa, legger jeg løsningsforslag i spoiler.
[+] Skjult tekst
Kombinerer vi disse to integralene over får vi, ved å bruke at $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ at
$$\begin{alignat*}{2}
2I &= \int_0^{\pi/2} (\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\sin(x)) + \cos^2(\sin(x)) + \sin^2(\cos(x))) \, \text{d}x \\
&= \int_0^{\pi/2} \left( \left[\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\cos(x)) \right] + \left[\sin^2(\sin(x)) + \cos^2(\sin(x)) \right] \right) \, \text{d}x \\
&= \int_0^{\pi/2} 2 \, \text{d}x \\ &= \pi
\end{alignat*}$$

Så $I=\frac{\pi}{2}$
Markus offline
Abel
Abel
Innlegg: 695
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: rart integral

Innlegg Janhaa » 27/11-2018 17:02

Markus skrev:Hint: Siden $\int_a^b f(a+b-x) \, \text{d}x = \int_a^b f(x) \, \text{d}x$ har vi at $$I=\int_0^{\pi/2} (\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\sin(x))) \, \text{d}x = \int_0^{\pi/2} (\cos^2(\sin(x)) + \sin^2(\cos(x))) \, \text{d}x$$ Hvilken kjent trigonometrisk identitet kan du bruke for å addere disse to integralene til en superlett integrand?
For å ikke ødelegge moroa, legger jeg løsningsforslag i spoiler.
[+] Skjult tekst
Kombinerer vi disse to integralene over får vi, ved å bruke at $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ at
$$\begin{alignat*}{2}
2I &= \int_0^{\pi/2} (\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\sin(x)) + \cos^2(\sin(x)) + \sin^2(\cos(x))) \, \text{d}x \\
&= \int_0^{\pi/2} \left( \left[\cos^2(\cos(x)) + \sin^2(\cos(x)) \right] + \left[\sin^2(\sin(x)) + \cos^2(\sin(x)) \right] \right) \, \text{d}x \\
&= \int_0^{\pi/2} 2 \, \text{d}x \\ &= \pi
\end{alignat*}$$
Så $I=\frac{\pi}{2}$

takk
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7630
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 9 gjester