Saken er at jeg skal finne arealet inni cardioiden gitt ved r = 1 + cost og utenfor sirkelen gitt ved r = 3cost. Disse skjærer hverandre i [pi][/pi]/3 og -[pi][/pi]/3, pga symmetri, kan vi beregne det over x-aksen og gange med to. Men jeg klarer rett og slett ikke å beregne dette arealet som avgrenses av disse kurvene.
Er det nok å ta:
A = 2 *(1/2) [itgl][/itgl] (1+cost)[sup]2[/sup] dt fra [pi][/pi]/3 til [pi][/pi]?
Areal
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Gjest
Det du kan gjøre her er å ta arealet av kardioiden fra pi/3 til pi, og trekke fra arealet av arealet av sirkelen fra pi/3 til pi/2 (Tegn en god figur så ser du det lettere). Dette ganger du da selvsagt med to.
-
Maxvell
OK, men [itgl][/itgl] (1+cost)[sup]2[/sup] dt er vel ( t +2sint + (1/3)sin[sup]3[/sup]t ) fra [pi][/pi]/3 til [pi][/pi].
Det blir et så utrolig stygt uttrykk, da jeg ikke får gjort om (([rot][/rot]3)/2)[sup]3[/sup] til noe pent.
Kunne trengt litt hjelp der, svaret skal jo bli [pi][/pi]/4, som jo er pent.
Det blir et så utrolig stygt uttrykk, da jeg ikke får gjort om (([rot][/rot]3)/2)[sup]3[/sup] til noe pent.
Kunne trengt litt hjelp der, svaret skal jo bli [pi][/pi]/4, som jo er pent.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Vha. av den trigonometriske formelen cos(2t) = 2cos[sup]2[/sup]u - 1 får man at cos[sup]2[/sup]t = 1/2 + cos(2t)/2. Dermed blir integranden
(1 + cos(t))[sup]2[/sup] = 1 + 2cos(t) + cos[sup]2[/sup]t = 1 + 2cos(t) + (1/2) + cos(2t)/2 = cos(2t)/2 + 2cos(t) + 3/2.
Dermed blir
[itgl][/itgl] (1 + cos(t))[sup]2[/sup] dt = sin(2t)/4 + 2sin(t) + 3t/2 + C
der C er en vilkårlig konstant.
(1 + cos(t))[sup]2[/sup] = 1 + 2cos(t) + cos[sup]2[/sup]t = 1 + 2cos(t) + (1/2) + cos(2t)/2 = cos(2t)/2 + 2cos(t) + 3/2.
Dermed blir
[itgl][/itgl] (1 + cos(t))[sup]2[/sup] dt = sin(2t)/4 + 2sin(t) + 3t/2 + C
der C er en vilkårlig konstant.