matematikk.net

[tex]U[/tex] og [tex]V[/tex] er to underrom av et endeligdimensjonalt vektorrom [tex]H[/tex].

[tex]U\cap V = \left \{ \bf{x} \in H \mid \textup{x er med i U og V} \right \}[/tex]

Hvordan kan jeg vise at [tex]U\cap V[/tex] er et underrom av [tex]H[/tex]?
Jeg ser at [tex]U\cap V[/tex], men sliter med å vise at mengden er lukket under addisjon og multiplikasjon med skalar.

La $\alpha,\beta$ være skalarer og la at $u,v\in U\cap V$. Da er $u,v\in U$, og siden $U$ er et underrom så er $\alpha u + \beta v \in U$. Helt tilsvarende viser vi at $\alpha u + \beta v \in V$, og det følger at $\alpha u+\beta v\in U\cap V$.