matematikk.net

Hei,

har følgende oppgave:

Gjennom en massiv kule med radius a > 1 bores et sylindrisk hull med radius 1 gjennom kulens sentrum. Hva blir volumet av den gjenværende delen av kula?

---
For å løse denne betrakter jeg først volumet av en kule med radius a, for så å trekke fra "hull-volumet". Volumet for kulen finner jeg ved rotasjon av halvsirkelen [tex]y = \sqrt{a^2-x^2}[/tex] om x-aksen. Integralet blir:

[tex]\int_{-a}^{a} pi(\sqrt{a^2-x^2})^2 = 4a/3[/tex]. Mens hullvolumet burde bli [tex]pi*r^2*h = pi*1^2*(2a)[/tex]. Altså [tex]V = \frac{4pi*a^3}{3} - pi*2a[/tex], men dette er galt. Hva gjør jeg feil??

Hint: Er hullet som går gjennom kula en perfekt sylinder?

Jeg vet ikke hva fasitsvaret er, men det burde ikke være store verdien unna det du har gjort.

Hvis jeg hadde fått denne oppgaven hadde jeg kanskje kjørt $\int_{-a}^{a} y \mathrm dx - \int_{-r_s}^{r_s} y \mathrm dx$ der $r_s$ er radien til "sylinderen". Dette er dog 2D-versionen av problemet, men du virker å forstå geometrien.

Takk! LF presenterer følgende løsning: Sjekker hvor x^2 + y^2 = a^2 krysser linjen y = 1, for så å rotere området avgrenset av y = sqrt(a^2-x^2) og y = 1 og de to krysningspunktene om x-aksen. Resultatet er vel også her at den 'indre' radiusen blir 1?

Jeg dreit meg litt ut der. Leste oppgaven feil. Den metoden jeg foreslår vil jo ikke resultere i et sylindrisk hull, men heller to kulekalotter som ikke henger sammen.

Det jeg sa først er likevel sant: Hullet er ikke helt sylinder-formet, men heller formet som et sylinder en kulekalott i hver ende. https://nn.wikipedia.org/wiki/Kulekalott

Volumet av denne "sylinderen" blir da $\frac{4\pi}{3}(r_k^3-(r_k^2-r_s^2)^{3/2})$, så det er dette som må trekkes fra volumet av kula.

$r_k$ er radien av kula og $r_s$ av "sylinderen", eller av bore-bitten gitt oppgaveformuleringa