Hei,
Vis at Taylorrekka til f (x) = arctan x / x (der vi definerer f (0) = 1) omkring x = 0 er:
[tex]\sum_{n = 0}^{inf} \frac{(-1)^nx^{2n}}{2n+1}[/tex]
Måten jeg løser dette på er å omskrive [tex]\frac{1}{1-x} = \sum_{n = 0}^{inf} x^n[/tex] til [tex]\frac{1}{1-(-x)^2} = \sum_{n = 0}^{inf} (-1)^nx^{2n}[/tex]. Integrerer:
[tex]\int \frac{1}{1-(-x^2)} = arctan(x) + C = \sum_{n = 0}^{inf} \frac{(-1)^nx^{2n+1} }{2n+1}[/tex]
Så deler jeg bare rekken på x og får det jeg skulle vise. Men hva skjer med konstantleddet fra integreringen? Og hva med opplysningen om at f(0) = 1? I LF har de bare ignorert integreringskonstanten ser det ut som.
Omskriving av taylorrekke
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Funksjonen $f(x)=\frac{\arctan(x)}{x}$ er ikke alene definert i $x=0$, men den kontinuerlige utvidelsen gitt ved $$\overset{\sim}{f}(x) = \left\{\begin{matrix}Kwerty skrev:Fint! men hva er opplysningen om at f(0) = 1 for? Brukes den noe sted?Markus skrev:Det stemmer.Kwerty skrev:Den må bli 0, er det korrekt?
1 & \text{hvis } x=0 \\
\frac{\arctan(x)}{x} & \text{ellers}
\end{matrix}\right.$$ er definert i $x=0$. Det er en tilleggsopplysning, siden $f$ ikke naturlig er definert i $x=0$, men den kan utvides til å bli det ved å tilordne en verdi til punktet $x=0$. Du skal utvikle om $x=0$, så da må funksjonen være definert der.