Omskriving av taylorrekke
Lagt inn: 08/12-2018 12:22
Hei,
Vis at Taylorrekka til f (x) = arctan x / x (der vi definerer f (0) = 1) omkring x = 0 er:
[tex]\sum_{n = 0}^{inf} \frac{(-1)^nx^{2n}}{2n+1}[/tex]
Måten jeg løser dette på er å omskrive [tex]\frac{1}{1-x} = \sum_{n = 0}^{inf} x^n[/tex] til [tex]\frac{1}{1-(-x)^2} = \sum_{n = 0}^{inf} (-1)^nx^{2n}[/tex]. Integrerer:
[tex]\int \frac{1}{1-(-x^2)} = arctan(x) + C = \sum_{n = 0}^{inf} \frac{(-1)^nx^{2n+1} }{2n+1}[/tex]
Så deler jeg bare rekken på x og får det jeg skulle vise. Men hva skjer med konstantleddet fra integreringen? Og hva med opplysningen om at f(0) = 1? I LF har de bare ignorert integreringskonstanten ser det ut som.
Vis at Taylorrekka til f (x) = arctan x / x (der vi definerer f (0) = 1) omkring x = 0 er:
[tex]\sum_{n = 0}^{inf} \frac{(-1)^nx^{2n}}{2n+1}[/tex]
Måten jeg løser dette på er å omskrive [tex]\frac{1}{1-x} = \sum_{n = 0}^{inf} x^n[/tex] til [tex]\frac{1}{1-(-x)^2} = \sum_{n = 0}^{inf} (-1)^nx^{2n}[/tex]. Integrerer:
[tex]\int \frac{1}{1-(-x^2)} = arctan(x) + C = \sum_{n = 0}^{inf} \frac{(-1)^nx^{2n+1} }{2n+1}[/tex]
Så deler jeg bare rekken på x og får det jeg skulle vise. Men hva skjer med konstantleddet fra integreringen? Og hva med opplysningen om at f(0) = 1? I LF har de bare ignorert integreringskonstanten ser det ut som.