matematikk.net

Jeg skulle gjerne klart å løse en oppgave hvor man antagelig skal bruke en uendelig rekke: "Per og Kari skal spille Ludo. For å avgjøre hvem som skal starte spillet, kaster de en terning etter tur. Førstemann som får en sekser skal begynne. Hvor stor er sannsynligheten for at Per får første sekser når det er han som kaster terningen først ?"

(Oppgaven står i læreboka Kalkulus av Lorentzen (3.opplag 2006), oppg. 7.2.19.)

Per har 1/6 sjanse til å få sekser i første kast. Hvis ikke han får sekser er det Kari sin tur. Det er 5/6 sjanse for at Per ikke fikk sekser, så hennes sjanse til å få sekser i første runde blir 5/6 * 1/6 = 5/36. Sjansen for at Per får gjøre et nytt kast er da 1 - (1/6 + 5/36). Her begynner det å bli uoversiktelig, og jeg klarer ikke å sette opp en rekke for å beregne Pers sjanser.

Noen tips ?

Slik jeg ser det, så har han 1/6 sjanse på første kast.

For at han skal få det på andre kast, så er vi avhengig av at han først IKKE får 6er, og Kari IKKE får 6er, og han FÅR 6er, som er 5/6 * 5/6 * 1/6.

For å få det på tredje kast, 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 1/6.

Hvis du skriver opp noen av disse nedover, kanskje du ser et mønster som kan brukes for n-te kast.

Hvis jeg har regnet riktig selv, så blir svaret litt interessant.

Innfører hendingane

S: Terningen viser seks auge.

A: Per kjem " ut " på første forsøk.

K: Kari kjem " ut " på første forsøk.


P( A ) = P( S ) = [tex]\frac{1}{6}[/tex]


P( K ) = P( [tex]\overline{A}[/tex] ) [tex]\cdot[/tex] P( S ) = [tex]\frac{5}{36}[/tex]


P( Per får første seksar ) = [tex]\frac{P(A)}{P(A) + P(K)}[/tex] = [tex]\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6} + \frac{5}{36}}[/tex] = [tex]\frac{6}{11}[/tex]

Tusen takk for svar.

Da blir det en geometrisk rekke med a_0 = 1/6 og k = (5/6)^2 som konvergerer (heldigvis !) og har summen s = 6/11, dvs. sannsynligheten P(Per får sekser) = 0,545. Det stemmer jo intuitivt med at Per har en litt større sjanse enn Kari siden han får kaste først.

Morsomt med matte.