[LINEÆR ALGEBRA] hvordan vise???

[haha_matte offline]

Heihei!! I feks. dette oppgavesettet, https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4115/ ... ring01.pdf , ref. til kap.2, oppgave 1. Hvordan skal jeg vite hvordan man skal vise disse tingene? Feks c) er jo noe vi har fått oppgitt i et teorem, men står jo ikke noe hvordan....

hilsen en som tror det er på tide å droppe ut av studiet

[DennisChristensen]

Heihei!! I feks. dette oppgavesettet, https://www.math.ntnu.no/emner/TMA4115/ ... ring01.pdf , ref. til kap.2, oppgave 1. Hvordan skal jeg vite hvordan man skal vise disse tingene? Feks c) er jo noe vi har fått oppgitt i et teorem, men står jo ikke noe hvordan....

hilsen en som tror det er på tide å droppe ut av studiet

Det hele er bare algebraisk manipulasjon. Jeg viser deg hvordan du gjør (a), så kan du spørre videre om du lurer på noe mer.

Skriv $z = x + iy$, der $x, y\in\mathbb{R}$. Da har vi at $$z\bar{z} = (x+iy)(x-iy) = x^2 + iy - iy - i^2y^2 = x^2 - (-1)y^2 = x^2 + y^2, $$ et reelt tall.

[Gjest offline]

ja, a) og b) har jeg fått til. Så det er rett og slett og bare skrive det ut slik som det er?

[DennisChristensen]

ja, a) og b) har jeg fått til. Så det er rett og slett og bare skrive det ut slik som det er?

Ja, la $z = x + iy$ og $w = u + iv$, der $u, v\in\mathbb{R}$. Da har vi at
$$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \overline{\left(\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}\right)} = \frac{\overline{z\overline{w}}}{w\overline{w}} = \frac{\overline{(x+iy)(u-iv)}}{w\overline{w}} = \frac{\overline{xu + yv + i(yu - xv)}}{w\overline{w}} = \frac{xu + yv - i(yu - xv)}{w\overline{w}} = \frac{(x - iy)(u + iv)}{w\overline{w}} = \frac{\overline{z}w}{w\overline{w}} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}.$$

[trådstarter offline]

ja, a) og b) har jeg fått til. Så det er rett og slett og bare skrive det ut slik som det er?

Ja, la $z = x + iy$ og $w = u + iv$, der $u, v\in\mathbb{R}$. Da har vi at
$$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \overline{\left(\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}\right)} = \frac{\overline{z\overline{w}}}{w\overline{w}} = \frac{\overline{(x+iy)(u-iv)}}{w\overline{w}} = \frac{\overline{xu + yv + i(yu - xv)}}{w\overline{w}} = \frac{xu + yv - i(yu - xv)}{w\overline{w}} = \frac{(x - iy)(u + iv)}{w\overline{w}} = \frac{\overline{z}w}{w\overline{w}} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}.$$

hm. Her, ganger du inn w konjugert inn i brøken? (steg 2)

[Gjest offline]

ja, a) og b) har jeg fått til. Så det er rett og slett og bare skrive det ut slik som det er?

Ja, la $z = x + iy$ og $w = u + iv$, der $u, v\in\mathbb{R}$. Da har vi at
$$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \overline{\left(\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}\right)} = \frac{\overline{z\overline{w}}}{w\overline{w}} = \frac{\overline{(x+iy)(u-iv)}}{w\overline{w}} = \frac{\overline{xu + yv + i(yu - xv)}}{w\overline{w}} = \frac{xu + yv - i(yu - xv)}{w\overline{w}} = \frac{(x - iy)(u + iv)}{w\overline{w}} = \frac{\overline{z}w}{w\overline{w}} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}.$$

Muligens et litt teit spørsmål, men kjenner du til noen gode kilder hvor jeg kan lære dette? (å utlede bevis...) Har lest i boka (vi har fått oppført som pensum), ingenting der, og ikke nevnt noe om det i forelesning heller. Kanskje det er meningen at man skal skjønne det av seg selv? Eller lese bevisene og memorere de? Dessverre ikke så intuitivt for meg... Så føler jeg på en måte har gått glipp av noe. Men vil veldig gjerne skjønne det!

[DennisChristensen]

ja, a) og b) har jeg fått til. Så det er rett og slett og bare skrive det ut slik som det er?

Ja, la $z = x + iy$ og $w = u + iv$, der $u, v\in\mathbb{R}$. Da har vi at
$$\overline{\left(\frac{z}{w}\right)} = \overline{\left(\frac{z\overline{w}}{w\overline{w}}\right)} = \frac{\overline{z\overline{w}}}{w\overline{w}} = \frac{\overline{(x+iy)(u-iv)}}{w\overline{w}} = \frac{\overline{xu + yv + i(yu - xv)}}{w\overline{w}} = \frac{xu + yv - i(yu - xv)}{w\overline{w}} = \frac{(x - iy)(u + iv)}{w\overline{w}} = \frac{\overline{z}w}{w\overline{w}} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}.$$

hm. Her, ganger du inn w konjugert inn i brøken? (steg 2)

Nettopp. Husk at vi viste i oppgave (a) at $w\overline{w}$ er et reelt tall, så å multiplisere brøken med $\overline{w}$ gir en reell nevner, hvilket lar oss skrive brøken på formen $a + bi$, der $a, b\in\mathbb{R}$.

Muligens et litt teit spørsmål, men kjenner du til noen gode kilder hvor jeg kan lære dette? (å utlede bevis...) Har lest i boka (vi har fått oppført som pensum), ingenting der, og ikke nevnt noe om det i forelesning heller. Kanskje det er meningen at man skal skjønne det av seg selv? Eller lese bevisene og memorere de? Dessverre ikke så intuitivt for meg... Så føler jeg på en måte har gått glipp av noe. Men vil veldig gjerne skjønne det!
Gjest offline

Slett ikke noe teit spørsmål. Personlig brukte jeg Edward Hurst, Bridging the Gap to University Mathematics, (Springer) som introduksjon til en del av universitetsmatematikken. Boka gir en introduksjon til komplekse tall, så det kan være lurt å ta en titt.

Jeg vet ikke nøyaktig hva du studerer, men et hvert realfagsstudium vil inneholde en del oppgaver. De er ment til å utfordre deg, og sjekke om du har skjønt stoffet skikkelig, så det er ingen grunn til å forvente at alt skal være lett med én gang. Det er sjelden noen god metode å prøve å memorere utledninger fullstendig. Som regel må man stole på intuisjonen sin, og kanskje huske ett og annet ``triks'' (som å multiplisere teller og nevner med den konjugerte til nevneren for å skrive tallet på standard form).

[Aleks855]

Noe jeg synes er viktig å nevne, er at når Dennis (eller noen andre som er relativt erfarne matematikere) husker en regel eller et triks, så er det ikke fordi de har brukt tid på å memorisere det. Det kommer av at man har gjort så mange oppgaver der det dukker opp at man husker det uten å prøve. På samme måte som at du vet hva alle disse ordene jeg skriver betyr. Du har ikke brukt tid på å memorisere hvert enkelt ord. Du har bare sett dem såpass mange ganger at du har lært dem.

[Gjest offline]

Slett ikke noe teit spørsmål. Personlig brukte jeg Edward Hurst, Bridging the Gap to University Mathematics, (Springer) som introduksjon til en del av universitetsmatematikken. Boka gir en introduksjon til komplekse tall, så det kan være lurt å ta en titt.

Jeg vet ikke nøyaktig hva du studerer, men et hvert realfagsstudium vil inneholde en del oppgaver. De er ment til å utfordre deg, og sjekke om du har skjønt stoffet skikkelig, så det er ingen grunn til å forvente at alt skal være lett med én gang. Det er sjelden noen god metode å prøve å memorere utledninger fullstendig. Som regel må man stole på intuisjonen sin, og kanskje huske ett og annet ``triks'' (som å multiplisere teller og nevner med den konjugerte til nevneren for å skrive tallet på standard form).

Tusen takk! Både for anbefaling og hjelp, skal sjekke ut boka. Studerer sivilingeniør. Tror noe av problemet er at jeg er så vant fra tidligere matematikk på videregående at jeg bare har støttet meg på å se på eksempler i boken/internett, og bare kunne "kopiert" metodene der. Mens nå finnes det ingen eksempler å kopiere av.. Og også at jeg føler jeg ikke forstår noe, da, hehe. Men følte jeg forstod bevisene, litt i hvert fall.

[Gjest offline]

Og jeg forventer å gjøre oppgaver, ja, eller; jeg ønsker å lære. Men føles på en måte litt meningsløst (/demotiverende..) når en ikke får det til. Særlig når man iherdig prøver å finne finne ut hvordan man skal gå frem; lese boken/forelesningsnotater, søke på internett.. Og så kommer tankene om at dette er ikke for meg, jeg innehar jo ikke grunnleggende logikk engang...

Menmen, andre har jo kommet seg gjennom disse fagene før meg. (selv om jeg vil jo helst litt mer enn å bare bestå, vil gjerne forstå). Og det er jo også viktig å huske på at matematikk generelt er ett modningsfag, kanskje må jeg bare eksponeres litt mer for disse ideene, tenke litt mer på de, før jeg skjønner det.

[Aleks855]

Du er på ingen måte alene om dette. Hoppet mellom VGS og universitetsmatematikk har mye å gjøre med at flesteparten av oppgavene nå starter med "Vis/bevis at...".

Jeg har ikke lest boka Dennis nevner, men jeg vil tro den tillegger dette hoppet en del vekt. Det er også det jeg merker jeg får flest spørsmål om fra førsteårs studenter.

Litt av det vi prøver å gjøre med bevis er å starte med et utsagn vi vet er sant, og deretter gjøre en serie med "hvis dette er sant, så må dette også være sant" helt til vi kommer i mål.

Som et enkelt eksempel, si vi ønsker å vise at et partall opphøyd i 2. alltid er et nytt partall.

Vel, vi kan skrive et hvilket som helst partall som $2k$ der $k$ er et heltall. $(2k)^2 = 4k^2 = 2\color{green}{(2k^2)}$ og siden $\color{green}{2k^2}$ er et heltall, så må $2(2k^2)$ være et partall.

Alt vi trengte å vite var litt algebra.

Dette er i stor grad det Dennis demonstrerte over. En serie med omskrivinger av et uttrykk, til vi får det på en form vi gjenkjenner som det vi var ute etter.