Hjelp med invers Laplace transformasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Kwerty
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Hei,

har følgende uttrykk:

[tex]\frac{3}{(s+2)^2+1^2}[/tex]

som jeg vil gjøre om til et funksjonsuttrykk ved bruk av Laplace. Antar jeg må bruke såkalt "s-skift", altså at

[tex]L(e^{at}f(t)) = F(s-a)[/tex]

også har jeg identiteten, som ligner en del på uttrykket jeg har.

[tex]L(sint) = \frac{a}{s^2+a^2}[/tex]

Men jeg ser ikke helt hvordan dette skal gjøres her. Noen som kan hjelpe? :)
DennisChristensen
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 826
Registrert: 09/02-2015 23:28
Sted: Oslo

$$\frac3{(s+2)^2 + 1^2} = 3\frac1{(s+2)^2 + 1^2} = 3\mathcal{L}\{\sin t\}(s+2) = 3\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin t\}(s) = \mathcal{L}\{3e^{-2t}\sin t\}(s).$$
Kwerty
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Takk, kan du forklare hvordan du gikk frem? Brukte du de sammenhengene jeg hadde listet opp?
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Kwerty skrev:Takk, kan du forklare hvordan du gikk frem? Brukte du de sammenhengene jeg hadde listet opp?
Yes, det var akkurat det han gjorde. $s$-skifting som du kaller det gir oss at $$\mathcal{L}\{e^{at}\sin(\omega t)\} = \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s-a) = \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}$$ så ved å ta den inverse Laplace transformasjonen på begge sider så sees at $$e^{at}\sin(\omega t) = \mathcal{L}^{-1}\left \{ \frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2} \right \}$$ I ditt tilfelle er jo $\omega = 1$ og $a=-2$. Ser du resten av veien (og hvorfor det blir sånn) selv?
Kwerty
Noether
Noether
Innlegg: 42
Registrert: 14/11-2018 18:30

Ja, er med nå. Takk for hjelpen!
Svar