Isomorfi

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Isomorfi

Innlegg Markus » 28/01-2019 23:00

Jeg har egentlig to spørsmål. Det første er at jeg ser det ofte blir brukt at hvis $\phi:G \to G'$ er en isomorfi, så er $\phi(a^n)=\phi(a)^n$, når det er snakk om sykliske grupper. Jeg har prøvd litt å tenke på hvorfor det er sånn. Og lurer på om noe i følgende gate er rett:

Egentlig så holder det vel at $\phi$ er en homomorfi, siden det bare er homomorfiegenskapen vi bruker. Bruker multiplikativ notasjon. Hvis vi bruker homomorfiegenskapen gjentatte ganger fås at
$$\phi(a^n)=\phi(a^{n-1}a)=\phi(a^{n-1})\phi(a)=\phi(a^{n-2}a)\phi(a)=\phi(a^{n-2})\phi(a)\phi(a)=\phi(a^{n-2})\phi(a)^2=\cdots=\phi(a)^n$$

Vil dette gjelde for absolutt alle homomorfier? Jeg tror det, men det er greit å få det bekreftet fra noen mer erfarne her inne!
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Isomorfi

Innlegg DennisChristensen » 29/01-2019 09:31

Markus skrev:Jeg har egentlig to spørsmål. Det første er at jeg ser det ofte blir brukt at hvis $\phi:G \to G'$ er en isomorfi, så er $\phi(a^n)=\phi(a)^n$, når det er snakk om sykliske grupper. Jeg har prøvd litt å tenke på hvorfor det er sånn. Og lurer på om noe i følgende gate er rett:

Egentlig så holder det vel at $\phi$ er en homomorfi, siden det bare er homomorfiegenskapen vi bruker. Bruker multiplikativ notasjon. Hvis vi bruker homomorfiegenskapen gjentatte ganger fås at
$$\phi(a^n)=\phi(a^{n-1}a)=\phi(a^{n-1})\phi(a)=\phi(a^{n-2}a)\phi(a)=\phi(a^{n-2})\phi(a)\phi(a)=\phi(a^{n-2})\phi(a)^2=\cdots=\phi(a)^n$$

Vil dette gjelde for absolutt alle homomorfier? Jeg tror det, men det er greit å få det bekreftet fra noen mer erfarne her inne!


Helt riktig tenkt! Et raskt induksjonsbevis viser at dette holder for alle homomorfier mellom grupper (de trenger ikke nødvendigvis være sykliske).
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 763
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 12 gjester