Isomorfi

[Markus]

Jeg har egentlig to spørsmål. Det første er at jeg ser det ofte blir brukt at hvis $\phi:G \to G'$ er en isomorfi, så er $\phi(a^n)=\phi(a)^n$, når det er snakk om sykliske grupper. Jeg har prøvd litt å tenke på hvorfor det er sånn. Og lurer på om noe i følgende gate er rett:

Egentlig så holder det vel at $\phi$ er en homomorfi, siden det bare er homomorfiegenskapen vi bruker. Bruker multiplikativ notasjon. Hvis vi bruker homomorfiegenskapen gjentatte ganger fås at
$$\phi(a^n)=\phi(a^{n-1}a)=\phi(a^{n-1})\phi(a)=\phi(a^{n-2}a)\phi(a)=\phi(a^{n-2})\phi(a)\phi(a)=\phi(a^{n-2})\phi(a)^2=\cdots=\phi(a)^n$$

Vil dette gjelde for absolutt alle homomorfier? Jeg tror det, men det er greit å få det bekreftet fra noen mer erfarne her inne!

[DennisChristensen]

Jeg har egentlig to spørsmål. Det første er at jeg ser det ofte blir brukt at hvis $\phi:G \to G'$ er en isomorfi, så er $\phi(a^n)=\phi(a)^n$, når det er snakk om sykliske grupper. Jeg har prøvd litt å tenke på hvorfor det er sånn. Og lurer på om noe i følgende gate er rett:

Egentlig så holder det vel at $\phi$ er en homomorfi, siden det bare er homomorfiegenskapen vi bruker. Bruker multiplikativ notasjon. Hvis vi bruker homomorfiegenskapen gjentatte ganger fås at
$$\phi(a^n)=\phi(a^{n-1}a)=\phi(a^{n-1})\phi(a)=\phi(a^{n-2}a)\phi(a)=\phi(a^{n-2})\phi(a)\phi(a)=\phi(a^{n-2})\phi(a)^2=\cdots=\phi(a)^n$$

Vil dette gjelde for absolutt alle homomorfier? Jeg tror det, men det er greit å få det bekreftet fra noen mer erfarne her inne!

Helt riktig tenkt! Et raskt induksjonsbevis viser at dette holder for alle homomorfier mellom grupper (de trenger ikke nødvendigvis være sykliske).